第01讲 4.1指数（知识清单+4类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 4.1指数 课程标准 学习目标 ①理解根式和分数指数幂的含义， 并且能进行两者之间的互化。 ②掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算。 ③掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子。 通过本节课的学习，能将初中的根式与本节课根式进行顺利对接与延伸，条件的扩充使指数的运算性质内容更充实，条件更充分，运算更彻底，因此本节课的内容具有承上启下的作用，通过本节课的学习要求掌握根式和分数指数幂的具体运算，并能进行两者的互化，运用实数指数幂的运算性质进行化简. 知识点01：整数指数幂 1、正整数指数幂的定义：，其中， 2、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 知识点02：根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 【即学即练1】（2023·全国·高一假期作业）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【答案】D 【详解】当为奇数时，； 当为偶数时，. 故选：D 知识点03：分式指数幂 1、正数的正分数指数幂的意义是（，，）于是，在条件，，下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2、正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，（，，）. 3、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）化简：= ．（用分数指数幂表示）. 【答案】 【详解】因为 . 故答案为：. 知识点04：有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点05：无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 【即学即练3】（2023·高一课时练习）计算. 【答案】0 【详解】原式 题型01根式的概念 【典例1】（2023·全国·高一假期作业）二次根式成立的条件是（   ） A． B． C． D．是任意实数 【典例2】（2023·高一课时练习）81的4次方根是 ． 【变式1】（2023·高一课时练习）625的四次方根为 . 【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）的平方根为 ，的次方根为 ；已知，则 ； 题型02根式的化简(求值) 【典例1】（2023·江苏·高一假期作业）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【典例2】（2023·江苏·高一假期作业）当有意义时，化简的结果是（    ） A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 【变式1】（2023·江苏·高一假期作业）若，化简的结果是（    ） A．5－2a B．2a－5 C．1 D．－1 【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）有下列说法： ①；②16的4次方根是； ③；④． 其中，正确的有 (填序号)． 题型03分数指数幂的简单计算 【典例1】（多选）（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·高一课时练习）根式的分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023秋·山西·高一校联考期中）（1）化简：.（结果用分数指数幂表示） （2）化简：.（结果用分数指数幂表示） （3）求值：. 【变式1】（2023·高一单元测试）下列式子的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·全国·高一假期作业）化简求值: (1)； (2)（，）. 【变式3】（2023·高一课时练习）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）. 题型04条件求值 【典例1】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（2022秋·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期中）（1）求的值； （2）已知，求的值. 【典例3】（2022秋·江西萍乡·高一江西省莲花中学校考期中）计算下列各式 (1)； (2)已知，