第二十一章 一元二次方程 学案 2023～2024学年人教版数学九年级上册

九年级数学第21章 一元二次方程 1、一元二次方程定义： （1）等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 2、一元二次方程的解法： (1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 (2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； ②移项——把常数项移项到等号的右边； ③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； ④开方，即降次； ⑤解一次方程。 (3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。 ， ②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 ③b2-4ac＜0时，方程无实数根。 定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 (4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。 一、单选题 1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 时，此方程可变形为(　　) A． B． C． D． 3．一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A． B． C． D． 5．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5 6．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（　　） A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1 7．关于x的一元二次方程（a＋2）x2＋3x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜ B．a≤ C．a＜ 且a≠﹣2 D．a≤ 且a≠﹣2 8．凤水小区2013年屋顶绿化面积为3 000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到4 320平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率都为x，那么x满足的方程是（　　） A．3 000（1+x）=4320 B．3 000（1+x）2=4320 C．3 000（1﹣x%）2=4320 D．3 000x2=4320 二、填空题 9．方程和方程所有实数根之积为　 　. 10．关于x的一元二次方程(k-1)x2-2 (k-2)x+k十1=0有实数根，则实数k的取值范围是　 　 11．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为　 　． 12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是　 　. 13．已知关于的一元二次方程的两根为、，则方程的两根为　 　. 三、解答题 14.解方程： （1）x（x﹣3）+x﹣3=0 （2）x2+3x﹣4=0． 15．已知关于 的方程 （1）若该方程的一个根为 ，求 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 16．已知关于 的一元二次方程 有实数根. （1）求 的取值范围； （2）当 为符合条件的最大整数时，求此时方程的解. 17．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时． （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 m小时，求m的值． 18．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 参考答案 1．C 2．D 3．D 4．C