第一章 直角三角形的边角关系 单元教学设计 2022-2023学年北师大版九年级数学下册

“直角三角形的边角关系”单元教学分析 1 本单元的知识发展主线 1.1 课标要求 （1）利用相似的直角三角形，探索并认知锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，到30°、45°、60°角的三角函数值； （2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角； （3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 1.2 知识结构图 本章首先学习tanA、sinA、cosA的概念，也就是锐角三角函数，并且将其与梯子斜度相关联。随后在第二节学习三个特殊角度的三角函数：30°、45°、60°角，这三个角度的三角函数在今后的数学学习中得到广泛应用。第三节是计算三角函数，学会使用计算器计算tanA、sinA、cosA以及tan-x、sin-x、cos-x；随后进入第四节的学习，解直角三角形，明确知道一条边和一个元素（该元素可以是任意一边或者一不是直角边的角）运用三角函数解出该直角三角形。在学习了前四节的基础上，第五节将三角函数运用在具体实际问题上，货轮是否触礁问题、测塔高、改变直角三角形角度求边长改变量等一系列问题。第六节是活动课，要求同学测量倾斜角、测量底部可以到达物体的高度、测量底部不可以到达物体的高度。 1.3 涉及的数学思想方法（举例说明） （1） 函数思想：利用三角函数的概念和性质去求解一直角三角形。 （2） 数形结合：会用求解直角三角形的方法去讨论货轮是否触礁、测塔高等现实问题，进而将数和形结合起来。 1.4 相关的数学核心素养（举例说明） （1） 几何直观：学生通过画不同的直角三角形解决梯子倾斜程度问题，利用图形描述和分析问题，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。 （2） 应用意识：利用三角函数测量山坡的倾斜程度、测量塔的高度等，有利于提高学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。 （3） 运算能力：在学习了三角函数函数的基础上，会求解30°、45°、60°角的三角函数；会在得知一定边和角的情况下解直角三角形。以此培养运算能力，有助于学生理解运算的算理。 2 数学的联系与应用 2.1数学史与数学文化 在2000多年前，古希腊天文学对解球面三角形的需求，那时候的三角函数大多数是球面三角学的三角函数。 在12世纪以前，热爱数学的印度人率先提出了正弦的概念，之后还衍生了正割，余弦等概念，但是印度人和同时代的中国人，阿拉伯人一样，三角函数只停留在了计算的层面没有更深的挖掘其内涵。同时代，三角函数还广泛应用于航海上，主要就是确定方向，计算距离。 在12世纪，纳绥尔丁提出了正弦定理，三角函数开始脱离了纯计算的行列。 1464年，在德国，雷格蒙塔努斯出版了De triangulis omnimodis（论各种三角形），其中提出了正弦定理和余弦定理，使欧洲对三角学的研究脱离了计算，进入了纯数学领域。时间进入近代，近代数学让数域扩展到了反人类的复数，也让三角函数走上了封神之路。 1579年，韦达，出版了《应用于三角形的数学定律》，从理论的层面定义了，分析了三角函数，在这本书中就出现了让无数中学生头疼的和差化积，积化和差公式。 17世纪是牛顿莱布尼兹创造微积分的世纪，也在这个世纪，笛卡尔提出了笛卡尔坐标系，从此三角函数就有了属于自己的图像，费马提出了导数的概念，不久之后三角函数就有了导数，而且三角函数的导数的特殊性，奠定了他放下三角形的概念。 随后傅里叶将三角函数推向了另一个方向，他提出任意周期函数s都可以用三角函数去表示，所以我们可以用三角函数描述所有曲线，这就是傅里叶级数。 2.2 数学与现实生活的联系 （1）轮船触礁问题：小岛A周围10海里内有暗礁，今有一轮船自西向东航行，开始在由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20 海里后到达该岛的南偏西25°的C处．之后，轮船继续向东航行。判断轮船继续向东航行途中会有触礁的危险吗? （2）火箭飞升问题一枚运载火箭从地面О处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC的距离是6km，仰角是43°。1s后，火箭到达B点，此时测得BC的距离是6.13km，仰角为45.54°。问(1）火箭到达B点时距离发射点有多远?(2）火箭从A点到B点的平均速度是多少? （3）测量塔高：小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到l m) （4）救生员营救问题：某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入