第四章_因式分解单元教学设计 2022-2023学年北师大版八年级数学下册

“因式分解”单元教学分析 1、本单元的知识发展主线 1.1 课标要求 《义务教育数学课程标准(2011年版)》中对因式分解的要求有：(1)在数与式中要求学生能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)；(2)在方程与不等式中要求学生理解配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。 从上述要求可以看出，这一单元的教学要求是：以学生在小学阶段对因数分解内容以及关于数字运算的相关法则的学习为基础，启发其理解并掌握因式分解的概念与意义；并且使学生通过因式分解方法的学习及其在解一元二次方程等方面的重要应用，进一步培养学生的数学运算素养，并促进其整体思想、类比思想、转化思想等重要思维品质的养成。[endnoteRef:2][1] [2: ] 1.2 知识结构图 1.3 涉及的数学思想方法 1、转化思想 转化思想在因式分解中的运用,能够将复杂问题简单化,将较多的元素化成比较简单的几个元素,从而降低题目的难度,使学生的解题思路更为清晰。[endnoteRef:3][2]换元法是解答数学题目时一种非常常用的方法，其中就体现了转化的基本思想。在一些比较复杂，元素较多的题目中，这一方法能够极大地简化题目。[endnoteRef:4][3] [3: ] [4: ] 【例1】分解因式(x2+x)2-14(x2+x)+24 解：x2+x=u，则原式=u2-14u+24=(u-2)(u-12) 再将u=x2+x带入得原式=(x2+x-2)(x2+x-12)=(x+2)(x-1)(x+4)(x-3) 对于不能直接分解的某些多项式，若通过转化，如添项、拆项等变形，则可以分解。 【例2】 多项式x4+x2y2+y4分解因式 分析：从表面上看此题不能直接分解因式，若x2y2的系数是2，即为2x2y2，则可分解。因此，把x2y2拆为2x2y2-x2y2再分解。 解：x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4-x2y2=(x2+y2)2-x2y2=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy) 2、整体思想 所谓整体思想, 是指在解题的过程中, 从整体入手, 对问题进行整体思考, 把所有独立但相关的点联系起来, 找出其中的共性, 并据此解决问题。整体思想是数学解题中比较常用的数学方法, 尤其是在因式分解中, 更是得到了充分的运用。[endnoteRef:5][4]有些多项式，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简、化难为易。比如以下例子：在转化思想的指导下，我们很快地想到用换元法对例1进行分解因式，即设x2+x=u，则原式=u2-14u+24=(u-2)(u-12)=(x2+x-2)(x2+x-12)=(x+2)(x-1)(x+4)(x-3)，在此基础上，抓住换元法的特点是把x2+x看作一个整体，明确整体思想。 [5: ] 【例3】 分解因式(x2-3x+2)(x2-3x-4)-72 在整体思想的指导下，我们也很容易地得到以下几种解题方案： 方案1：将x2-3x看作一个整体，则原式=(x2-3x)2-2(x2-3x)-80=…=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)； 方案2：将x2-3x+2看作一个整体，则原式=(x2-3x+2)2-6(x2-3x+2)-72=…=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)； 方案3：将x2-3x-4看作一个整体，则原式=(x2-3x-4+6)(x2-3x-4)-72=(x2-3x-4)2+6(x2-3x-4)-72=…=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)。 以上两例，正是由于整体思想，使得繁与简、新与旧达到和谐的统一。 3、类比思想 类比思想即指在思维中对两种或两种以上的同类研究对象的异同进行辨别，利用共性得出新的判断的一种思维方式。如果学生掌握了类比思想方法，那么他在学习因式分解时就会将因式分解与因数分解进行如下比较。 (1)从学习分解因数的目的性上类比，算数里学习分数时，为了约分与通分的需要，必须把整数分解因数，类似地，代数里学完整式后开始学习分式，为了约分、通分也必须学会把一个多项式分解因式。 (2)从因式分解的形式上类比，整数33可分解为3×11,类似地，也可以把整式分解成几个整式的积。这样类比，不仅可以使学生领会因式分解的意义，而且为分解因式的方法指明了思路。 (3)从结果上类比，分解因数是把一个整数分解到不能再分解为止，分解因式要求把多项式分解到每一个因式不能再分解为止。[endnoteRef:6][5] [6: ] 数学问题的相似性在数学中普遍存在。根据多项式与多项式之间的异同点，抓住其本质特征，运用类比思想去处理，则能将生疏的问题转化为熟悉的问题。比如这样一个例子： 【例4】分解因式(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+1