第1章 勾股定理 大单元教学设计 2023-2024学年北师大版八年级数学上册

“勾股定理”单元教学分析 1 本单元的知识发展主线 1.1 课标要求 1.要掌握勾股定理的内容及其应用; 2.掌握判断一个三角形是直角三角形的条件; 3.掌握曲面上的最短路线问题。 1.2 知识结构图 1.3 涉及的数学思想方法 1.数形结合思想 勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范。 勾股定理本身就是数形结合的的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想。 例1：如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续下去…，若正方形①的面积为64，则正方形⑥的面积为______。 解析：这是一类关于“勾股树”( 国外叫做“毕达哥拉斯树”)的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律，第n个正方形的面积是，那么易求第六个正方形的面积，可以得到答案是8。 2.分类讨论思想 分类讨论思想是指在解题过程中，当条件或结论不确定或不唯一时 ，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决，最后综合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法。 (1)直角边和斜边不明时需分类讨论; (2)已知三角形两边a,b及第三边上的高h的长，不明确三角形形状时，应分锐角和钝角两种情况讨论。 例2：已知直角三角形两边长分别为3和4,求第三边的长为？ 解析：已知两边分别为3和4 ①若这两边为直角边 则，斜边 所以，斜边 即第三边的长为 ②若这两边一个为直角边，一个为斜边 那么，第三边 所以， 所以，第三边（即另一个直角边）的长为 例3：三角形ABC中,AB=10, AC=17, BC边上的高线AD=8,求BC的长为？ 解析：由勾股定理可分别在Rt△ABD和Rt△ADC中求出BD、DC的长，然后分两种情况考虑：①D点在线段BC上，②D点在CB的延长线上；根据D点的不同位置可得BD、DC、BC三条线段不同的数量关系，从而得到BC的值。 Rt△ACD中，AC=17，AD=8，由勾股定理得： Rt△ABD中，AB=10，AD=8，由勾股定理得： ①点D在线段BC上时，BC=BD+CD=21， ②点D在CB的延长线上时，BC=CD-BD=9， 故BC的长为9或21。 3.转化思想 例4：如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A： B: C: D: 解析：如图1，当爬的长方形的长是（4+6）=10，宽是3时， 如图2，当爬的长方形的长是（3+6）=9，宽是4时， 如图3，爬的长方形的长是（3+4）=7时，宽是6时， 故选B。 1.4 相关的十大核心概念 1.几何直观 利用图形来描述和分析勾股定理的相关问题体现了几何直观的核心概念 勾股定理作为“千古第一定理”,证法极多。赵爽和毕达哥拉斯的方法利用短链公理系统“被直线分割的封闭图形，各个部分的面积之和等于整体的面积”,凸显几何直观，更贴近学生的知识基础与认知能力，在教材中通常作为正文出现。欧几里得的方法利用长链公理系统(要找到将大正方形的面积分割为两个小正方形的面积的方法),突出逻辑推理，对初中生的要求过高，在教材中通常作为拓展的阅读材料出现。 在教学中，要引导学生探究发现构造图形证明勾股定理的方法，从而发展几何直观能力。 2.应用意识 将航海和最短路线等实际问题转化为勾股定理相关的数学问题体现了应用意识的核心概念。 3.创新意识 发现并提出问题----得到猜想和规律的过程体现了创新意识的核心概念。 2 数学的联系与应用 2.1 数学史与数学文化 1.中国 公元前十一世纪，数学家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。编写于公元前一世纪以前的《周髀算经》中记录着商高与周公的一段对话。商高说：“……故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。 公元三世纪，三国时代的赵爽对《