第一讲勾股定理的认识与证明讲义2022-2023学年北师大版八年级数学上册

·初二数·第一章·勾股定理 第一章 勾股定理 第一讲 认识勾股定理 【知识点1】勾股定理 文字描述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 字母表示：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2 【知识点2】勾股定理的验证（内弦图、外弦图、总统图 ） 【知识点3】勾股定理的应用 1. 求边长 2. 求面积 3. 实际应用 考点一 ※ 勾股定理的发现 例 勾股定理的探索：在如图的网格中，请你数一数图中正方形各占多少个小格子，完成表格，探究规律. 图1 图2 正方形A的面积 正方形B的面积 正方形C面积 图1 图2 正方形A,B,C的面积关系 直角三角形三边的数量关系 若直角三角形的三边长分别为a，b，c（c为斜边），则满足 的数量关系为___________________ . 练习 1.如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边在△ABC外作三个正方形，S1 ，S2 ，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2= 2.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面 积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．27 D．45 考点二 ※ 勾股定理的验证 例 阅读下面的材料：勾股定理神秘而美妙它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法. 先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形. 由图1可以得到，整理，得 所以 图1 图2 图3 如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空： 由图2可以得到 ，整理，得 ， 所以 . 由图3可以得到 ，整理，得 ， 所以 . 练习 勾股定理是初中数学学习的重要定理之一，这个定理的验证方法有很多，你能验证它吗？请你根据所给图形选择一种方法画出验证勾股定理的方法并写出验证过程． 考点三 ※ 勾股定理的应用 例 1.下列说法中正确的是（　　） A．已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2 D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2 2.在△ABC中，∠C=90°， （1）若a=3,b=4,则c= ； （2）若a=5，c=13，则b=____； （3）若c=20，b=12，则a= . 3.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a:c=3:5，b=16,则a= ,c= . 5.在△ABC中，∠C=90°，已知AC=6，另两边之差为2，则另两边分别为 和 . 6.在Rt△ABC中，斜边BC=3，则的值为　 　． 练习 1.如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分的面积是 2.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a2的值为 3.如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，D为上一点，且，△DAB的面积为10，那么的长是 考点四 ※ 勾股定理的实际应用 例 1.如图，一架梯子长25m，底部7m，斜靠在墙上.若梯子的顶端下滑了4m，梯子的底端滑动了多少米？ 2. 《九章算术》的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子吹断，其梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．问断处离地面的高度是多少？ 练习 1.如图，校园里有两棵树，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树