第01讲 等式和不等式的性质（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第01讲 等式和不等式的性质 知识点1 等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝ 知识点2 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点3 比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 【题型1 不等式（组）表示实际问题】 【典例1】汽车在隧道内行驶时，安全车距d（单位：m）正比于车速v（单位：km/h）的平方与车身长l（单位：m）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为70km/h时，安全车距为19.6个车身长． （1）求汽车在隧道内行驶时的安全车距d与车速v之间的函数关系式； （2）某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为10m，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队） 长度为800m的隧道用时最短？ 【变式1-1】某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，则可用不等式表示为（　　） A． B．v≤120（km/h）或d≥10（m） C．v≤120（km/h） D．d≥10（m） 【变式1-2】下列结论不正确的是（　　） ①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300； ②完成﹣项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200； ③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N； ④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5． A．① B．② C．③ D．④ 【题型2利用不等式性质判断真假】 【典例2】若a，b，c∈R，则下列命题为假命题的是（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＜b＜0，则 D．若ac2＜bc2，则a＜b 【变式2-1】已知a，b，c，d∈R，则下列命题中一定成立的是（　　） A．若a＞b，c＞d，则a+b＞c+d B．若a2＞b2，则﹣a＜﹣b C．若a＞b，c＜d，则 D．若a＞﹣b，则c﹣a＜c+b 【变式2-2】下列命题为真命题的是（　　） A．若a＜b＜0，则ac2＜bc2 B．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b＞c＞0，则 【变式2-3】若实数a，b，c满足a＞b＞c，则下列结论一定成立的是（　　） A．ac＞b2 B．ab2＞cb2 C． D． 【变式2-4】对于实数a，b，c，下列命题中是真命题的是（　　） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b且c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b＞0，c＞0，则ac＞bc 【题型3 比较大小】 【典例3】已知x＝a+b，y＝a+b2+1，则x与y的大小关系是（　　） A．x＞y B．x≥y C．x＜y D．x≤y 【变式3-1】已知0＜a＜1，b＜0，则下列大小关系正确的是（　　） A．ab＜b＜a2b B．b＜ab＜a2b C．b＜a2b＜ab D．a2b＜b＜ab 【变式3-2】设t＝a﹣4b，s＝a+b2+4，则t与s的大小关系是（　　） A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t 【变式3-3】已知M＝（a+2）（a﹣