3.3 点 的 投 影（课件）-高一《机械制图》同步教学（人民邮电版）

3.3 点 的 投 影 3.3.1 点的投影特点 空间点的投影仍为一个点。 如图3-12所示，将点A置于三投影面体系中分别向投影面V、H、W作正投影，就是过A点分别向投影面V、H、W作垂线所得到的垂足，如图3-12（a）所示。 三投影面体系展开后，点的3个投影在同一平面内，得到了点的三面投影图。应注意的是：投影面展开后，同一Y轴旋转后出现了两个位置。 图3-12 点的三面投影 为了统一起见，规定空间点用大写字母表示， 如A、B、C等；水平投影用相应的小写字母表 示，如a、b、c等；正面投影用相应的小写字 母加撇表示，如a、b、c等；侧面投影用相 应的小写字母加两撇表示，如a、b、c等。 3.3.2 点在两投影面体系中的投影 点的投影仍为一点，且空间点在一个投影面上有唯一的投影。 但已知点的一个投影，不能唯一确定点的空间位置，至少需要两个投影。 如图3-13（a）所示，在由V、H两互相垂直的投影面形成的两面体系中，过空间点A作投影线分别垂直于V、H两面，得出点A的V面投影a 和H面投影a。投影线Aa 和Aa所决定的平面与V面和H面垂直相交，交线分别是aax和aax，因此∠aaxx=∠aaxx=90°。 将V、H两投影面展开后，这两个直角保持不变，合起来等于180°，即aaxa成为一条垂直于坐标轴X的直线，这里把a与a的连线称为投影连线，如图3-13（b）所示。投影面的边框对作图没有作用，略去不画，得到空间点A在两投影面体系中的投影，如图3-13（c）所示。 图3-13 点在两面投影体系中的投影 由上图可知：Aaax a组成一长方形，Aa= a ax，Aa= aax 。 点的两面投影图的投影规律： （1）点在两个投影面上的投影连线，垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴； （2）点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应投影面的距离。 3.3.3 点在三面投影体系中的投影 将点A放在三投影面体系中分别向3个投影面V、H、W作正投影，即过A点分别向V面、H面、W面作垂线所得到的垂足。 如图3-14（a）所示，V面不动，H面和W面沿Y轴分开，水平面H和水平投影一起绕X轴往下旋转与正面V重合；侧面W连同侧面投影一起绕Z轴往右旋转与正面V重合得到展开后的投影图，如图3-14（b）所示。 原有的Y轴分成YH和YW两轴。在点的投影图中一般不画出投影面的边界线，也不标出投影面的名称。 常见的投影图如图3-14（c）所示。 由上图可知：Aaax a az aayO组成一长方体，a a⊥Ox，a a⊥Oz，aaYH⊥OYH，aaYW⊥OYW，点A的三面投影有下列关系： Aa = aaz = axO= a ay Aa= aax =ayO= a az Aa= aax = azO= a ay 图3-14 点的三面投影 综合以上分析可得到点的三面投影图的投影规律。 （1）点的投影连线垂直于相应的投影轴。 （2）点的投影到投影轴的距离反映该点到相应投影面的距离。 【例3-2】 如图3-15（a）所示，已知点A的V面投影a和H面的投影a，求W面投影a。 解： 过原点O作45°线；过a作垂直于YH轴的直线与45°线相交，再过交点作垂直于YW轴的直线；过a作垂直于Z轴的直线与垂直于YW轴的直线相交于a，即为所求，如图3-15（b）所示。 图3-15 已知点的两面投影求第三面投影 3.3.4 点的三面投影与直角坐标 三面投影体系相当于直角坐标体系，以投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，O为坐标原点，则空间一点A至三个投影面的距离便是A点的坐标x、y、z，如图3-17所示。因此，点的投影与点的坐标有如下关系： A点到W面的距离 点 的x坐标 A点到V面的距离 点 的y坐标 A点到H面的距离 点 的z坐标 图3-17 点的投影与直角坐标 由上述关系可知，A点的正面投影a由x、z坐标确定，水平投影a由x、y坐标确定，侧面投影a则由y、z坐标确定，并且点的任何两个投影都反映了点的三个坐标值。 因此，若已知点的坐标x、y、z，便可作出该点的投影图；反之，已知点的两个投影图，也就唯一地确定了该点的坐标值。 【例3-4】 已知点B距V、H、W三个投影面的距离分别为10、20、15，求点B的三面投影。 图3-18 已知点的空间位置求点的三面投影 解： 根据空间点位置和坐标关系，可判定B点的坐标为（15，10，20）。由点的投影与坐标的关系，在X轴上向右取x=15，得bx，如图3-18（a）所示；过bx作X轴的垂线，上下分别取z=20、y=10得b和