2.1.3 点、直线和平面的投影（课件）-高一《机械制图》同步教学（人民邮电版）

2.1.3 点、直线和平面的投影 1．点的投影 （1）点的投影和三面投影规律。如图2.8（a）所示，假设在三投影面体系中，有一点A，过点A分别向3个投影面作垂线（投射线）。则垂足a、a′、a〞即为点A在3个投影面上的投影（空间点用大写字母标记，如A、B、C…；它们在H面的投影用相应小写字母标记，如a、b、c…；在V面的投影用相应小写字母加一撇标记，如a′、b′、c′…；在W面的投影用相应小写字母加两撇标记，如a〞、b〞、c〞…）。 图2.8 点的三面投影 若将投影面按图2.8（b）所示展开摊平在一个平面上，省略投影面边框线，则可得到点A的三面投影，如图2.8（c）所示。 图2.8（a）中，过点A的3条投射线，构成3个互相垂直的平面，与X、Y、Z轴交于aX、aY、aZ，与3个投影面交出六条交线，连同3个投影面，构成一个长方体。显然，aaX和a′aX同时垂直OX轴，在投影面展开后的投影图中a、aX、a′    3点共线，且aa′⊥OX，同理a′a〞⊥OZ。所以可得出点的三面投影规律： 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a〞⊥OZ。 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aaX=a〞aZ。 从图2.8（a）还可以看出，a′aX =a〞aY且等于A点到H面的距离Aa，aaX =a〞aZ且等于A点到V面的距离Aa′，aaY = a′aZ且等于A点到W面的距离Aa〞，即点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。 根据上述点的投影规律，若已知点的任意两面投影，即可作出其第3面投影。 【例2.1】 已知点的两面投影，求作第3面投影。 画法：如图2.9所示，过已知两面投影图按箭头指示方向分别作出相应的投影线，两垂线的交点即为所求。 图2.9 由点的两面投影求作第三面投影 若将投影面按图2.8（b）所示展开摊平在一个平面上，省略投影面边框线，则可得到点A的三面投影，如图2.8（c）所示。 图2.8（a）中，过点A的3条投射线，构成3个互相垂直的平面，与X、Y、Z轴交于aX、aY、aZ，与3个投影面交出六条交线，连同3个投影面，构成一个长方体。显然，aaX和a′aX同时垂直OX轴，在投影面展开后的投影图中a、aX、a′    3点共线，且aa′⊥OX，同理a′a〞⊥OZ。所以可得出点的三面投影规律： 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a〞⊥OZ。 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aaX=a〞aZ。 从图2.8（a）还可以看出，a′aX =a〞aY且等于A点到H面的距离Aa，aaX =a〞aZ且等于A点到V面的距离Aa′，aaY = a′aZ且等于A点到W面的距离Aa〞，即点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。 根据上述点的投影规律，若已知点的任意两面投影，即可作出其第3面投影。 （2）点的投影与直角坐标之间的关系 点的空间位置也可用其直角坐标来确定。如图2.10所示，如果把三投影面体系看作空间直角坐标系，投影面当作坐标面，投影轴当作坐标轴，原点即为坐标原点，则： 点A的X坐标OaX =a′aZ =aaY =点A到W面的距离Aa〞； 点A的Y坐标OaY =aaX =a〞aZ =点A到V面的距离Aa′； 点A的Z坐标OaZ =a′aX =a〞aY =点A到H面的距离Aa； 点A坐标的书写形式为A（xA，yA，zA），如A（10，12，15）。 从图2.10可知，点A的水平投影a由X、Y两坐标确定，正面投影a′由X、Z两坐标确定，侧面投影a〞由Y、Z两坐标确定。所以点的任两投影已经反映点的3个坐标，已完全确定点的空间位置。因此，若已知点的3个坐标．就可画出该点的三面投影；反之，根据点的三面投影，就可量出该点的3个坐标。 图2.10 点的投影和直角坐标关系 【例2.2】 已知点A（15，10，12），求作其三面投影。 作图方法： ① 作投影轴OX、OY、OZ，在OX轴上量取OaX =15得aX［见图2.11（a）］。 ② 过aX作OX轴垂线，自aX向下量取aaX =10得a，向上量取a′