专题22 数列新定义综合题-备战2024年北京高考数学真题模拟题分类汇编

专题22 数列新定义综合题 1．（2023•北京）数列，的项数均为，且，，2，，，，的前项和分别为，，并规定．对于，1，2，，，定义，，1，2，，，其中，表示数集中最大的数． （Ⅰ）若，，，，，，求，，，的值； （Ⅱ）若，且，，2，，，求； （Ⅲ）证明：存在，，，，1，2，，，满足，，使得． 2．（2022•北京）已知，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列． （Ⅰ）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； （Ⅱ）若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为4； （Ⅲ）若，，，为连续可表数列，且，求证：． 3．（2021•北京）设为实数．若无穷数列满足如下三个性质，则称 为数列： ①，且； ②，2，； ③，，2，；，2，． （Ⅰ）如果数列的前四项为2，，，，那么是否可能为数列？说明理由； （Ⅱ）若数列是数列，求； （Ⅲ）设数列的前项和为，是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的；如果不存在，说明理由． 4．（2020•北京）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得； ②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得． （Ⅰ）若，2，，判断数列是否满足性质①，说明理由； （Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列． 5．（2023•朝阳区一模）已知有穷数列，，，，满足，0，，2，，．给定正整数，若存在正整数，，使得对任意的，1，2，，，都有，则称数列是连续等项数列． （Ⅰ）判断数列，1，0，1，0，1，是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由； （Ⅱ）若项数为的任意数列都是连续等项数列，求的最小值； （Ⅲ）若数列，，，不是连续等项数列，而数列，，，，数列，，，0与数列，，，，1都是连续等项数列，且，求的值． 6．（2023•西城区一模）给定正整数，设集合，，，，，，，2，，．对于集合中的任意元素，，，和，，，，记． 设，且集合，，，，，2，，，对于中任意元素，，若则称具有性质． （Ⅰ）判断集合，1，，，0，，，1，是否具有性质？说明理由； （Ⅱ）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （Ⅲ）若集合具有性质，证明：，2，，． 7．（2023•大兴区校级模拟）若有穷数列，，，，满足，2，，，则称数列为数列． （Ⅰ）判断下列数列是否为数列，并说明理由； ①1，2，4，3； ②4，2，8，1． （Ⅱ）已知数列，，，，其中，，求的最小值； （Ⅲ）已知数列是1，2，，的一个排列．若，求的所有取值． 8．（2023•丰台区一模）已知集合，2，3，，，，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”． （Ⅰ）试判断集合，4，，，5，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） （Ⅱ）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质； （Ⅲ）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值． 9．（2023•顺义区二模）已知实数集，，，，定义（A），，． （Ⅰ）若，0，1，，求（A）； （Ⅱ）若（A），，，，12，18，，求集合； （Ⅲ）若中的元素个数为9，求（A）的元素个数的最小值． 10．（2023•石景山区一模）若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列． ①，当时，； ②若存在某一项，则存在，2，，，使得且． （Ⅰ）若，写出所有数列的前四项； （Ⅱ）若，判断数列是否为等差数列，请说明理由； （Ⅲ）在所有的数列中，求满足的的最小值． 11．（2023•东城区二模）已知有穷数列，，，中的每一项都是不大于的正整数．对于满足的整数，令集合，，2，，．记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为． （Ⅰ）若，3，2，5，3，7，5，5，求（5）及（5）； （Ⅱ）若，求证：，，，互不相同； （Ⅲ）已知，，若对任意的正整数，都有或，求的值． 12．（2023•海淀区二模）设为整数．有穷数列的各项均为正整数，其项数为．若满足如下两个性质，则称为数列：①，且，2，，；②，2，， （Ⅰ）若为数列，且，求； （Ⅱ）若为数列，求的所有可能值； （Ⅲ）若对任意的数列，均有，求的最小值． 13．（2023•西城区校级三模）若项数为的数列，，，满足：，，3，，，且存在，3，，，使得则称数列具有性质． （Ⅰ）①若，写出所有具有性质的数列； ②若，，写出一个具有性质的数列； （Ⅱ）若，数列具有性质，求的最大项的最小值； （Ⅲ）已知数列，，，，，，，均具有性质，且对任意，，2，，，当时，都有，．记集合