专题20 圆锥曲线综合题-备战2024年北京高考数学真题模拟题分类汇编

专题20 圆锥曲线综合题 1．（2023•北京）已知椭圆的离心率为，、分别为的上、下顶点，、分别为的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）点为第一象限内上的一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 2．（2022•北京）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值． 3．（2021•北京）已知椭圆的一个顶点，以椭圆的四个顶点围成的四边形面积为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线、分别与直线交于点、，当时，求的取值范围． 4．（2020•北京）已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求的值． 5．（2023•朝阳区一模）已知椭圆经过点，． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设椭圆的左顶点为，直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．问：直线是否经过轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由． 6．（2023•西城区一模）已知椭圆，点，在椭圆上，且为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点． （Ⅰ）当直线与轴垂直时，求直线的方程； （Ⅱ）求的取值范围． 7．（2023•东城区一模）已知椭圆的一个顶点为，离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．设椭圆的左顶点为，求的值． 8．（2023•丰台区一模）已知椭圆的一个顶点为，焦距为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 9．（2023•顺义区二模）已知椭圆过点和，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点斜率为的直线交椭圆于，，直线，分别交直线于点，．若，求的值． 10．（2023•石景山区一模）已知椭圆过点，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点且互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点及，两点．求的取值范围． 11．（2023•东城区二模）已知焦点为的抛物线经过点． （Ⅰ）设为坐标原点，求抛物线的准线方程及的面积； （Ⅱ）设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 12．（2023•海淀区二模）已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小． 13．（2023•西城区二模）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为． （Ⅰ）求椭圆的方程和离心率； （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值． 14．（2023•朝阳区二模）已知点在椭圆上，且的离心率为． （1）求的方程； （2）设为椭圆的右焦点，点是上的任意一点，直线与直线相交于点，求的值． 15．（2023•海淀区一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，，四边形的周长为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于不同的两点，，点关于轴的对称点为’，直线’ 与轴交于点，若的面积为2，求的值． 16．（2023•丰台区二模）已知椭圆经过两点． （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设，为椭圆上不同的两个点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若点满足，求证：，，三点共线． 17．（2023•房山区一模）已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相切，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，证明：为定值． 18．（2023•平谷区一模）已知椭圆经过两点，设过点的直线椭圆交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足． （1）求椭圆的方程： （2）证明：直线过定点． 19．（2023•通州区一模）已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点关于轴的对称点为，直线与平行，且与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．求证：四边形为菱形． 20．（2023•海淀区校级模拟）已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，与椭圆交于不同的两点，，求的面积的最大值． 21．（2023•昌平区二模）已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，点为椭圆上一点（不与，重合），直线，分别与直线相交于点，．当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长