专题18 立体几何综合题-备战2024年北京高考数学真题模拟题分类汇编

专题18 立体几何综合题 1．（2023•北京）如图，四面体中，，，平面． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小． 2．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 3．（2021•北京）如图，在正方体，为的中点，交平面交于点． （Ⅰ）求证：为的中点； （Ⅱ）若点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 4．（2020•北京）如图，在正方体中，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2023•朝阳区一模）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离． 6．（2023•西城区一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列两个问题： （Ⅰ）求证：为的中点； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 7．（2023•东城区一模）如图，在长方体中，，和交于点，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 平面与平面的夹角的余弦值； 点到平面的距离． 条件①：； 条件②：与平面所成角为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 8．（2023•丰台区一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，交于点，，．点是棱的中点，连接，． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段的长． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 9．（2023•顺义区二模）如图，在长方体中，，，是的中点，平面与棱相交于点． （Ⅰ）求证：点为的中点； （Ⅱ）若点为棱上一点，且，求点到平面的距离． 10．（2023•石景山区一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小． 条件①：； 条件②：平面平面； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 11．（2023•东城区二模）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点． （Ⅰ）设为的中点，求证：； （Ⅱ）若直线和平面所成角的正弦值为，求的值． 12．（2023•海淀区二模）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求的长． 条件①：；条件②：． 13．（2023•西城区二模）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 14．（2023•朝阳区二模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，是的中点，平面与线段交于点． （1）证明：为的中点； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：三角形的面积为； 条件②：三棱锥的体积为1． 15．（2023•海淀区一模）如图，直三棱柱中，，，，是的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（2023•丰台区二模）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，，，四点共面，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）过点与垂直的平面交直线于点，求的长度． 17．（2023•房山区一模）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求到平面的距离． 18．（2023•平谷区一模）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，与平面交于点，，，． （1）求证：为的中点； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19．（2023•通州区一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，为棱上一点，平面． （1）求证：为中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20．（2023•海淀区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面为菱形，