3.4圆心角（2）教案 2022—2023学年浙教版数学九年级上册

3.4圆心角（2） 教案 课题 3.4圆心角（2） 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级（上） 学习 目标 1．圆心角定理的逆定理的理解； 2．圆心角定理的逆定理的运用． 3.圆心角定理的应用 重点 关于圆心角、弧、弦、弦心距之间的相互关系的性质. 难点 例4需辅助线，思路不易形成，是本节教学的难点. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 ( ⌒ ⌒ )导入新课 创设情景，引出课题 复习回顾： 提出并找出条件与结论 圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 提出问题：圆心角定理的逆定理能成立吗？ 探究 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等吗？ 探究一：相等的弦所对的圆心角相等吗？ 已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD 求证： ∠AOB= ∠COD AB=CD OE=OF 证明：∵AB=CD ( ⌒ ⌒ )∴∠AOB= ∠COD ∴AB=CD OE=OF 探究二 相等的弧所对的圆心角相等吗？ 已知：弧AB=弧CD 求证： ∠AOB= ∠COD AB=CD OE=OF 证明： ∵弧AB=弧CD ∴∠AOB= ∠COD ∴AB=CD OE=OF 探究3 相等的弦心距所对的圆心角,弦,弧相等吗？ 已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD垂足为E、F，OE=OF 求证： ∠AOB= ∠COD 弧AB=弧CD AB=CD 证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD 在Rt △AOE和Rt △COF中 ∴ Rt △AOE ≌ Rt △COF ∴ ∠AOE= ∠COF ∵OA=OB OC=OD OE⊥AB，OF⊥CD ∴ ∠ AOB=2∠AOE ∠COD=2∠COF ∴∠AOB= ∠COD ∴弧AB=弧CD AB=CD 二、提炼概念 结论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等. 思考 自议 通过理解圆的旋转不变性，理解圆心角定理的逆定理； 转化思想，把圆心角、弧、弦、弦心距利用圆心角定理的逆定理进行互相转化． 讲授新课 三、典例精讲 例3 如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由. 解：四边形BDCO是菱形，理由如下： ∵AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120° ∴∠BOD=180°-∠AOB=60° 同理：∠COD=60° 又∵OB=OD ∴OB=OD=BD 同理：OC=CD ∴OB=OC=BD=CD ∴四边形BDCO是菱形 例4 已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．求证：AD=DE=EB. 解: 连结OD,OE 在等边三角形ABC中，∠A=60° ∵OA=OD ∴△AOD为等边三角形 ∴∠AOD=60° 同理∠BOE=60° ∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60° ∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE ∴AD= DE=EB 在同圆或等圆中，证明角相等，可以证明角所对的弧相等． 在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等． 课堂检测 4、 巩固训练 1．下列说法中正确的是 (　 　) A．相等的弦所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．在同一个圆中相等的弧所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等 答案：C 2．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是 (　 ) A B C D 答案： B 【解析】 A错误，是因为两弧不是在同圆或等圆中；B正确，∵＝，∴＋＝＋，∴＝，∴CD＝AB；C错误，∠AOB＝×360°＝40°；D错误，当MN是AE的垂直平分线时，才有＝. 3.如图所示，已知⊙O中的弦AB＝CD. 求证：(1)＝； (2) ∠AOC＝∠BOD. 证明：(1)∵AB＝CD， ∴＝(在同一圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的弧相等)． ∴－＝－. ∴＝. (2)∵＝， ∴∠AOC＝∠BOD(在同一圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的圆心角相等)． 4.如图所示，A，B，C为⊙O上的三点，且有