第2讲 根与判别式、系数的关系 2023年人教版数学八年级升九年级暑假预习讲义

第2讲 根与判别式、系数的关系 【教学目标】： 1. 掌握根的判别式与韦达定理； 2. 根据根与系数的关系判断根的正负性； 【教学重难点】： 根的判别式与韦达定理的运用。 【课前小测】 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）． A.﹣3，﹣4，﹣5 B.3，﹣4，5 C.3，4，5 D.3，4，﹣5 2. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A.4 B. C.2 D. 3. 方程是一元二次方程，则m=_______ 4. 一元二次方程 的解为 ． 5. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于 ． 6. 用适当方法解方程： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【专题解析】 考点一 根的判别式的运用 1. 一元二次方程根的判别式为 ①当时，方程有两个不相等的实数根 ②当时，方程有两个相等的实数根 ③当时，方程没有实数根 【例1】 （1）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ） A B C D （2）已知有关于的一元二次方程 ①有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________ ②有两个相等的实数根，则k的取值范围是__________ ③没有实数根，则k的取值范围是__________ （3）已知：关于x的方程 ①不解方程：判断方程根的情况； ②若方程有一个根为3，求m的值。 针对练习1 1. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是__________ 2. 若关于的方程有实数根，则m的取值范围是________ 3. 已知关于x的一元二次方程，当k取何值时： （1） 方程有两个不相等的实数根？ （2） 方程有两个相等的实数根？ （3） 方程有实数根？ （4） 方程没有实数根？ 【例3】证明不论m为何值，关于的方程没有实数根。 针对练习2 1. 证明不论m、n为何值，关于的方程都有实数根。 2. 已知关于x的方程没有实数根，判断关于x的方程的根的情况. 考点二 根与系数的关系 思考1 从因式分解法可知，方程（为已知数）的两根为，将方程化为的形式，你能看出与p，q之间的关系吗？ 思考2 一般的一元二次方程中，二次项系数未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 归纳总结： 1. 根与系数的关系：若一元二次方程有两实数根分别为、，则两根之和，两根之积 2. 利用根与系数解题时需注意：①二次项系数不能为0；②判别式 3. 韦达定理常用公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） . 【例1】 （1）已知、是方程的两根，则为__________ （2）已知方程的一个根是1，则它的另一个根是________，m的值是________ （3）已知关于的一元二次方程两根分别为，求下列各值 ①； ②； ③ 【例2】 已知关于的一元二次方程。 （1） 求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2） 若方程有两个实数根，且1，求的值。 针对练习3 1. 若是一元二次方程2－3＋2＝0的两根，则的值是（ ） A． －2 B．2 C．3 D．1 2. 已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（ ） A．﹣3 B． 3 C．﹣6 D． 6 3. 若0，﹣3是方程的两个根，则__________ 4. 若关于的方程有一个根为-1，则另一个根为__________ 5. 关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是 ；＝ 。 6. 当m=_______时，关于的方程的两根互为相反数。 7. 若是方程的两个根，试求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4） 【综合练习】 1. 方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等实根 B．有两个相等实根 C．无实根 D．以上三种情况都有可能 2. 等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10＝0的两根，则它的周长为（ ） A．12 B．12或9 C．9 D．7 3. 已知关于x的方程kx2+（