第1讲 一元二次方程的解法 人教版数学八年级升九年级暑假预习讲义

第1讲 一元二次方程及解法 【教学目标】： 1. 掌握一元二次方程的概念及其性质； 2．熟练地运用直接开平方法、配方法、因式分解法等解一元二次方程； 【教学重难点】： 一元二次方程的系数、概念理解、用适当的方法解一元二次方程。 【考点解析】 考点一 一元二次方程的基本形式 1. 一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：． 2. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。 【例1】 （1）判断下列方程哪些是一元二次方程：__________.（填序号） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ （2）方程是关于的一元二次方程，则m满足的条件是（ ） A. B. C. D. （3）方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【例2】 （1）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ） A.1 B.-1 C.1或-1 D. （2）已知是一元二次方程的一个解，且，则的值为__________ （3）已知m，n是方程的根，求的值为__________ 针对练习1 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） ①；②；③；④；⑤ A.①② B.①②③④ C.①③④ D.①④⑤ 2. 若方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3. 若一元二次方程一个根是﹣1，则（ ） A B C D 4. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于________ 考点二 二元一次方程的解法 1. 直接开平方法：利用平方根的意义直接降次求解 形如的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解。 例如：的解为即； 注意：当，方程和均无解 【例1】 用直接开方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【变式训练】 （1） （2） （3） （4） 2. 配方法：把一元二次方程通过配方化成的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法． 核心：左边配成完全平方式，右边为常数 步骤：一移、二化、三配、四开 （1） 一移：移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （2） 二化：化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （3） 三配：配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为的形式； （4） 四开：如果就可通过两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． ． 【例2】 用配方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【变式训练】 1. 填空： （1） （2） （3） （4） 2. 解下列方程。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 3. 公式法：通过配方法可求得一元二次方程的求根公式（其中），用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． （1）核心：求根公式的使用 步骤： 1 化方程为一元二次方程的一般形式； 2 确定的值； 3 求出的值； 4 若，则代入求根公式求方程的解；若，则方程无解． （2）一元二次方程根的判别式为 ①当时，方程有两个不相等的实数根 ②当时，方程有两个相等的实数根 ③当时，方程没有实数根 【例1】 用公式法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【变式训练】 （1） （2） （3） （4） 4. 因式分解法：如果一元二次方程的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于0，这两个因式至少有一个为0，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法． 常用的因式分解法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法 核心：若或 步骤：①将方程右边化为0；② 将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③ 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式，否则会丢根． 【例1】 用因式分解法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【例2】 （回顾）用十字相乘法把下列式子进行因式分解。 （1）=_____________ （2）=_____________ （3）=_____________