第7讲 HL的判定及角平分线 人教版七年级升八年级数学暑假预习讲义

第7讲 HL的判定及角平分线 【教学目标】： 1. 掌握直角三角形中用HL进行判定两个三角形全等的方法。 2. 能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法，并能综合运用全等三角形的性质证明线段和角相等的问题。 3. 角平分线性质的运用。 【教学重难点】： 探索、归纳证明两个三角形全等的条件，提高运用知识的能力。 【考点解析】 考点一 全等三角形的判定5-“斜边、直角边”（HL） 回顾与思考 1. 判别两个三角形全等方法： ， ， ， 。 2. 如图，Rt△ABC中，直角边 、 ，斜边 。 3. 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL” 条件①：斜边对应相等 条件②：一条直角边对应相等前提：两个直角三角形 斜边、直角边公理(HL)推理格式 ∵∠C=∠C′=90° ∴在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中 ∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL） 【例1】 已知：如图，在△ABC和△ABD中，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D，AD=BC，求证：△ABC≌△BAD. 针对练习1 1. 如下图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（ ） ( A E B D C F ) A.HL B.AAS C.SSS D.ASA 2. 如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB. 3. 已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE， 求证：OB=OC. 4. 如图4，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系. 【例2】 已知：如图，在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别是高，且AB=DE，AP=DQ，∠BAC=∠EDF，求证：△ABC≌△DEF 针对练习2 1. 已知：∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD。求证：CE=DE. 2. 如图：AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F，求证：CE=DF. 3. 如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF. （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 考点二 角平分线的性质 1. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达： 如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB。 （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB， ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON） （3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 2. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用． 题型一 角平分线的性质 【例1】 在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。 针对练习3 1. 如图，三条公路两两交于点A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 2. 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB 4. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF. 【例2】 已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB =AC，BD平分∠ABC．求证：BC = AB + AD. 【例3】 如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DC=3cm，AB=10cm，求△ABD的面积。 【例4】 如图，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证∠AOP=∠BOP. 针对练习4 1. 如图△ABC中,∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ） A 4cm B 6cm C 10cm D 不能确定 第1题图 第2题图 2. 如图，AD∥BC，∠ABC的角