1.2.3 矩形的性质与判定（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 第2节 矩形的性质与判定(三) 1.掌握矩形的性质及判定方法 2.会运用矩形的性质及判定方法进行计算和证明（重点） 3.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用（难点） 情境&导入 矩形的定义 矩形判定定理 矩形判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 有一个角是直角的平行四边形. 对角线相等的平行四边形是矩形. A B C D O E 例1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE∥BD. 求证：四边形OCED是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形． 例2.如图，在矩形 ABCD 中，AD=6，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED=3BE. 求 AE 的长. 解∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角）， AC = BD（矩形的对角线相等） AO =CO= AC，BO =DO = BD（矩形的对角线互相平分）. ∴AO = BO = DO = BD. ∵ED = 3BE，∴BE = OE， 又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO， 即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°. ∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°. ∴AE = AD = ×6=3. H G F E D C B A 证明：连接AC、BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵点E、F、G、H为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 例3.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH， 求证：四边形EFGH是菱形. 例4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？ 请直接写出你的结论. 证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM， ∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM. ∴∠DAE =∠CAD +∠CAN = （∠BAC +∠CAM）= ×180°=90°. 在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线， ∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°. 又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° . ∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）. （2）解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB 练习&巩固 1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=4，则DC= ______. 练习&巩固 2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　　) A．8 cm　　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm 练习&巩固 3.如图，在四边形 ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD 且AB=CD，∠BAC=∠BDC. 求证：四边形ABCD 是矩形. 与全等三角形的结合 矩形的性质与判定的综合 与平面直角坐标系的结合 折叠问题 $