第12章 全等三角形——角平分线模型 讲义 2022—2023学年人教版数学八年级上册

角平分线模型 1、 作垂线构AAS型全等 例1、如图，在四边形中，于，现有： ①；②；③；④， 若把其中任两个作为条件，都可得出另两个结论． （1）已知：①②，求证：③④； （2）已知：①③，求证：②④； （3）已知：①④，求证：②③； （4）已知：②③，求证：①④． 变式训练 1.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB＝12，BC＝15，△ABC的面积是36，则DE的长是 　 　． 2.如图所示，已知PA＝PB，∠1+∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB． 3. 如图，AD是△ABC的角平分线，求证：． 4.如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：CE＝CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论． 2、 截长补短构SAS型全等 例2、如图，AD∥BC，E是CD上一点．且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝AD+BC（3种方法）． 变式训练 1.已知如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O， （1）求：∠AOC的度数； （2）求证：AC＝AE+CD． 2.如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD．求证：BC＝AB+CE． 3、 角平分线+垂线——延长法 例3、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE＝∠B+∠ECD． 变式训练 1.如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E． 求证：BD＝2AE． 2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：DE＝CE； （3）若AE＝4，BE＝6，求四边形ABCD的面积． 4、 对角互补模型 例4、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，且CD＝CB，∠ABC+∠ADC＝180°．求证：AE＝（AB+AD）． 变式训练 1.如图，已知，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：CD＝CB； （2）若AE＝3BE＝12，求AD的长和S△ABC：S△ACD的值； （3）若△ABC和△ACD的面积分别为54和36，求△BCE 的面积． 2.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC＝CD，求证：∠B+∠D＝180°． 学科网（北京）股份有限公司 $