1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 精练（5大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 【题型1 求点到直线的距离】 1、（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知空间三点，则点到直线的距离为 ． 2、（2023·江苏·高二专题练习）已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为 . 3、（2022秋·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为 . 4、（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知直线过点，且直线的方向向量为，则点到的距离为 . 5、（2022秋·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.    （1）求证:平面ABCD; （2）若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离. 【题型2 求点到平面的距离】 1、（2022秋·辽宁大连·高二庄河高中校考阶段练习）已知平面的一个法向量，点在内，则平面外一点到平面的距离为（ ） A．4 B．2 C． D．3 2、（2022秋·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 3、（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，且，底面，若点到平面的距离为，则（ ） A． B． C．1 D．2 4、（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 5、（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． （1）求点到平面的距离为； （2）求到平面的距离． 【题型3 求异面直线所成角】 1、（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2、（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3、（2022·高二单元测试）在直三棱柱中，所有的棱长都相等，为的中点，为的中点，则与所成角的余弦值为 . 4、（2023春·河南·高二校联考期末）若O是正方体的中心，则异面直线与OC所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5、（2023·江苏·高二专题练习）“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，面ABCD，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【题型4 求直线与平面所成角】 1、（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则面与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2、（2023秋·高二单元测试）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（ ） A． B． C． D． 3、（2022·高二课时练习）在六面体PABCDE中，PA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，且PA＝2ED，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°． （1）求证：BD⊥平面PAC． （2）若PA＝AC，求直线BD与平面ACE所成的角是多少． 4、（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，正三棱锥P－ABC的所有侧面都是直角三角形，过点P作PD⊥平面ABC，垂足为，过点作平面，垂足为，连接并延长交于点． （1）证明：起的中点． （2）求直线与平面夹角的正弦值． 5、（2023春·山东潍坊·高二统考期末）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，，，为圆的内接正三角形. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【题型5 求平面与平面所成角】 1、