专题1.4 用空间向量研究距离、夹角-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.4用空间向量研究距离、夹角 知识点一 异面直线所成的角 1.两条异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角． ②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是． ③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有. 知识点二 直线与平面所成角 直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. 知识点三 二面角 1．求二面角的大小 (1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)． 知识点四 利用向量求空间距离 1.向量模、距离公式 （1）设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝＝， （2）设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则. 2. 点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. 考点01 异面直线所成的角 【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）【多选题】如图，在棱长为2的正方体中，若M，N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．三棱锥的体积为1 C．与BM所成角的余弦值为 D．过点B，M，N的平面截该正方体所得截面的面积为 【总结提升】 向量法求两异面直线所成角的步骤 (1)选好基底或建立空间直角坐标系； (2)求出两直线的方向向量v1，v2； (3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解． 考点02 根据线线角求其它量 【典例3】（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，平面，点M，N分别为，的中点，，Q为线段上的点（不包括端点A，B），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A．或4 B． C． D． 【特别提醒】 提醒：两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角． 考点03 直线与平面所成角 【典例5】（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【典例6】（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【规律方法】 利用向量法求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. 考点04 根据直线与平面所成角求其它量 【典例7】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.    (1)证明：点为的中点； (2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【典例8】（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）如图，正三棱柱的所有棱长均为为的中点，为上一点， (1)若，证明：平面； (2)当直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 考点05 二面角 【典例9】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在直三棱柱中，，，M为的中点，．    (1)求的长； (2)求二面角的余弦值． 【典例10】（2023春·河南南阳·高二统考期末）三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 【规律方法】 利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)