2.1～2.4 有理数（知识+题型 重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（苏科版）

突破2.1－2.4有理数 【知识点一、有理数】 1．正数与负数 像＋3、＋1．5、＋、＋584等 0的数，叫做正数；像－3、－1．5、－、－584等在正数前面加 号的数，叫做负数． 注意：（1）一个数前面的“＋”“－”是这个数的性质符号，“ ”常省略，但“ ”不能省略． （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为 ，而把“后退、下降”等规定为 ． （3）0既不是 也不是 ，它是 和 的分界线． 2．有理数与无理数 （1）有理数的定义：我们把能够写成分数形式（m,n是整数，n≠0）的数叫做有理数． 注意：①有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数． ②所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数． （2）无理数的定义： ． 注意：无理数的特征：无理数的小数部分位数 ．无理数的小数部分 ，不能表示成分数的形式． （3）有理数与无理数的区别： ①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数． ②任何一个有理数都可以化为 的形式，而无理数则不能． 3．有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类： 注意： （1）有理数都可以写成 的形式，整数也可以看作是分母为 的数． （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如 ． （3）正数和零统称为 ；负数和零统称为 ；正整数、0、负整数统称 ． 【知识点二、数轴】 1．数轴的定义 规定了 、 和 的直线叫做数轴． 2．数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上－1，－2，－3，… 3．数轴与有理数的关系 任何一个有理数都可以用 来表示，但数轴上的点不都表示 ，还可以表示其他数，比如π． 【知识点三、绝对值与相反数】 1．相反数 定义：如果两个数只有 不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是 ． 性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 2．多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面 号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如－{－[－(－4)]}＝4；若有奇数个时，化简结果为负，如－{＋[－(－4)]}＝－4 ． 注意：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 3．绝对值 定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如＋2的绝对值等于2，记作|＋2|＝2；－3的绝对值等于3，记作|－3|＝3． 注意：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到 的距离，离 的距离越远，绝对值越 ；离原点的距离越近，绝对值越 ． （3）一个有理数是由 和 两个方面来确定的． 绝对值的性质： （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为 ． （2）互为 的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有 ，即任何一个数的绝对值总是正数或0． (一) 正数与负数 例1．（2023秋·广东肇庆·七年级统考期末）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作＋100元，则－55元表示(    ) A．支出45元 B．收入45元 C．支出55元 D．收入55元 【变式训