第二章圆与方程 知识点清单-2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

新教材 苏教版2019版 数学选择性必修第一册 第二章知识点清单 目录 第二章　圆与方程 2. 1 圆的方程 2. 2 直线与圆的位置关系 2. 3　圆与圆的位置关系 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第二章　圆与方程 2. 1 圆的方程 一、圆的定义 　　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是半径. 二、圆的方程 1. 圆的标准方程 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. 特别地，当a=b=0时，方程为x2+y2=r2(r>0)，表示以原点为圆心，r为半径的圆. 2. 圆的一般方程 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程，化为标准形式为+=，表示以点为圆心， 为半径的圆. ①当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点； ②当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形； ③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆时，B=0，A=C≠0. 三、点与圆的位置关系 已知圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)或一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)，设所给点为M(x0，y0)，则点与圆的位置关系如下表： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 MC=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2(或++Dx0+Ey0+F=0) 点在圆内 MC<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2(或++Dx0+Ey0+F<0) 点在圆外 MC>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2(或++Dx0+Ey0+F>0) 四、圆的方程的求解 1. 直接代入法 　　确定圆心坐标和半径，直接代入圆的标准方程即可，确定圆心坐标和半径的方法： (1)利用条件确定圆心C(a，b)及半径r. (2)利用几何性质确定圆心C(a，b)及半径r，常用的几何性质如下： ①圆心与切点的连线垂直于圆的切线； ②圆心到切线的距离等于圆的半径r； ③圆的半径r，弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2； ④圆的弦的垂直平分线过圆心； ⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点，则此两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与直线l的交点为圆心. 2. 待定系数法 (1)根据题意，设出所求圆的标准方程或一般方程； (2)根据已知条件，建立关于参数的方程组； (3)解方程组，求出参数的值； (4)将参数代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程. 五、与圆有关的轨迹问题 1. 求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：根据已知条件，先抽象出动点间的几何关系，再利用解析几何的有关公式(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式. (2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，则可先设方程，再确定其中的基本量，进而求出动点的轨迹方程. (3)相关点法：有些问题中，动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点坐标所满足的条件即可求得动点的轨迹方程. 六、求与圆的方程有关的实际问题 1. 建立平面直角坐标系的一般原则 (1)原点取在某一定点处，坐标轴为某定直线或定线段所在直线或图形的对称轴； (2)尽量充分利用图形的对称性； (3)设出各点的坐标，使未知参数尽量少. 2. 用坐标法解决与圆的方程有关的实际问题的步骤 （1）审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据 （2）建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的左边及已知条件，求出几何模型的方程 （3）求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解 （4）还原：将运算结果还原为对实际问题的解释 2. 2 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1. 设直线l和圆M的方程分别为Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0. 如果直线l与圆M有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线l与圆M的公共点. 2. 直线l与圆M的方程联立，得方程组有如下结论： 方程组解的情况 无解 仅有一组解 有两组不同的解 直线与圆公共点的情况 没有公共点