1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 精练（3大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【题型1 求平面的的法向量】 1、（2022秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考阶段练习）若向量，，则平面的一个法向量可以是（ ） A． B． C． D． 2、（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（ ）． A． B． C． D． 3、（2022秋·安徽阜阳·高二校考阶段练习）已知平面经过三点，求平面的一个法向量是 ; 4、（2022·高二课时练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量．    5、（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    【题型2 利用空间向量证明平行关系】 1、（2023·全国·高二专题练习）已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面. 2、（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面. 3、如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，、分别为、的中点，证明：平面平面. 4、（2023春·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面. 【题型3 利用空间向量证明垂直关系】 1、（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：； 2、（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. （1）证明：AP⊥BC； （2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC. 3、（2022·高二课时练习）已知：如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E是的中点．求证：平面平面． 4、（2023·江苏·高二专题练习）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 5、（2022·高二课时练习）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【题型1 求平面的的法向量】 1、（2022秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考阶段练习）若向量，，则平面的一个法向量可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设平面的法向量为，因为向量，， 所以，取，得，故选：C. 2、（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，即. 对A：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，A错误； 对B：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，B错误； 对C：若，则，即与共线， 故是平面的法向量，C正确； 对D：若，由，可得：与不共线， 故不是平面的法向量，D错误；故选：C. 3、（2022秋·安徽阜阳·高二校考阶段练习）已知平面经过三点，求平面的一个法向量是 ; 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为，所以，， 设平面α的法向量为， 则有，即 得，令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（答案不唯一）． 4、（2022·高二课时练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量．    【答案】作图见解析，是平面的一个法向量， 是平面的一个法向量． 【解析】因为，平面，平面，所以 又，，所以 所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以是平面的一个法向量． 因为， 设平面的一个法向量， 则   ，取，得， 所以是平面的一个法向量． 5、（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.