2.2&2.3有理数与无理数、数轴（十大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年七年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）七年级上册数学《第2章 有理数》 2.3 数 轴 知识点一 有理数 ◆1、有理数的概念： 我们把能写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数． 所有的整数都可以表示为分母为1的分数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是 有理数． 【注意】 引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数. 知识点二 有理数的分类 ①按有理数的定理分类： 有理数； ②按有理数的性质符合分类： 有理数． 有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； 无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数. 【注意】： ① 分类的标准不同，结果也不同； ② 分类的结果应无遗漏、无重复； ③ 零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 知识点三 无理数 ◆1、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数． ◆2、常见的无理数的几种类型： （1） 一般的无限不循环小数：如0.357894… （2）看似有规律的循环实际上是无限不循环小数，如0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1）． （3）与圆周率π有关的式子，如 ； 知识点四 数轴 ◆1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ◆2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ◆3、画数轴的注意事项： (1) 原点、单位长度和正方向三要素缺一不可； (2) 直线一般是水平的； (3) 正方向用箭头表示，一般取从左到右； (4) 取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀. 知识点五 数轴上的点与数的关系 1、有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数． 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度． 知识点六 利用数轴比较数的大小 1.在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 2.正数都大于0，负数小于0，正数大于负数． 题型一 有理数概念的辨析 【例题1】（2023•沙坪坝区校级开学）下列各数不是有理数的是（　　） A．1.5 B．﹣2 C．3π D． 解题技巧提炼 整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数； 【变式1-1】（2023•青岛三模）下列四个选项中的数不是分数的是（　　） A． B． C． D．80% 【变式1-2】（2023•大新县校级模拟）下列各数中，是负整数的数是（　　） A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣2.5 【变式1-3】（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-4】（2022秋•西峰区校级期末）在“﹣1，﹣0.3，+1，0，﹣2.7”这五个数中，负有理数是 　 　． 【变式1-5】（2023春•闵行区期中）在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，，314%．这八个有理数中非负数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型二 有理数的分类 【例题2】（2023春•南岗区校级月考）下列各数中，负有理数有（　　）个． ﹣1，2.5，，0，﹣π，120，﹣1.732， A．1 B．2 C．3 D．4 解题技巧提炼 有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数. 注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 【变式2-1】（2022秋•卢龙县期中）在有理数﹣0.2、﹣3、0、2、﹣5、1中，非负整数有 　 　个． 【变式2-2】（2022秋•隆回县期末）在，，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【变式2-3】（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有