1.5二次函数的应用 教案2022-2023学年湘教版数学九年级下册

1.5二次函数的应用教案 课题 1.5二次函数的应用 单元 第一章二次函数 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1. 理解建立抛物线图形的二次函数模型解决问题的步骤； 2. 能利用二次函数的图象和性质解决求最大值和最小值问题； 3. 感悟数形结合与函数模型相结合的解决问题的方法； 4. 培养合作意识，发展学生思维，激发学生的求知欲望. 重点 用抛物线的知识解决实际问题． 难点 将实际问题转化为抛物线的知识来解决． 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 1、 填表： 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 y轴 （0，0） 向上 y轴 （0，5） 向下 （，2） 向下 （，0） +1 向上 （，1） 2、 用配方法求下列二次函数的最大值或最小值。 （1）； （2） . 学生独立解答，指名板演，集体订正。 回顾二次函数的顶点坐标和对称轴． 通过对知识的回顾为本节课的学习做好铺垫． 讲授新课 一、拱桥问题： 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9 m，当水面宽4 m时，拱顶离水面2 m．若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你能解决这个问题吗？ 桥洞的拱形是什么函数的图象？ 要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么? 如何方便简单地构建函数模型呢？我们有下面四种选择： 选择哪个更容易解决问题？ 由于第二种建立坐标系的顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式是y=ax2．这样建立的直角坐标系函数解析式最为简单． 如何确定a是多少？ 已知水面宽4 m，拱顶离水面高2 m，因此点A（2，-2）在抛物线上．由此得出 －2=a·22， 解得． 因此，这个函数的表达式为，其中|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数． 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45． 当水面宽 4.6 m 时， 拱顶离水面几米？ 解：当水面宽 4.6 m 时，把x=2.3代入函数的表达式，得y=-2.645． 答：当水面宽 4.6 m 时，拱顶离水面2.645米． 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 二、图形问题： 如图 ， 用 8 m 长的铝材做一个日字形窗框. 试问： 窗框的宽和高各为多少时， 窗框的透光面积 S（m2）最大？ 最大面积是多少？ （假设铝材的宽度不计） 解：设窗框的宽度为x m．则窗框的高为 m，其中． 则窗框的透光面积为：，． 配方得： ， ． 所以，当时，S取最大值． 这时高为：． 所以当窗户宽米，高2米时，透光面积最大， 最大面积为 m2． 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？ 1、应当求出函数解析式和自变量的取值范围． 2、通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值． 3、确定所求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内． 三、商品利润问题： 例 某网络玩具店引进一批进价为 20 元 / 件的玩具， 如果以单价 30 元销售， 那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验， 提高销售单价会导致销售量的下降， 即销售单价每上涨 1 元， 月销售量将相应减少 10 件. 当销售单价为多少元时， 该店能在一个月内获得最大利润？ 解：设每件商品的销售单价上涨 x 元， 一个月内获取的商品总利润为 y 元．每月减少的销售量为10 x（件）， 实际销售量为（180 - 10 x）件， 单件利润为（30 + x - 20 ）元， 则 y = （ 10 + x ） （ 180 - 10x ） ， 即 y = - 10x2 + 80x + 1 800 （ x ≤ 18 ） . 将上式进行配方，y = - 10x2 + 80x + 1 800 　　　　　　　　＝ - 10 （ x - 4 ）2 + 1 960． 当x=4时，即销售单价为34元时，y最大值为1960元． 答：当销售单价定为34元时，该店一个月内最大利润为1960元．初始位置的水平距离是多少？ 你还有什么方法能求出当销售单价为多少元时， 该店能在一个月内获得最大利润？ 建立二次实际问题的一般步骤： （1）根据题意建立适当的平面直角坐标系． （2）把已知条件转化为点的坐标． （3）合理设出函数解析式． （4）利用待定系数法求出函数解析式． （5）根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算． 通过对实际问题的分析，建立平面直角坐标系解决问题． 通过对下面四种坐标系的分析，选择最简单的坐标系解决问题． 了解