专题1.33 有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题1.33 有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】乘方的意义 求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 要点说明 （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 【知识点2】乘方运算法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点说明 (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 【考点一】有理数的乘方➼➻有理数幂的概念理解 【例1】表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 【答案】B 【分析】根据有理数幂的概念理解逐项判断即可． 解：根据有理数幂的概念可得， 表示4个的积． 故选：B． 【点拨】本题考查了有理数幂的概念理解，解决此题的关键是熟悉有理数幂的概念． 【举一反三】 【变式1】下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据乘方的意义：an表示n个a相乘，分别计算出结果，根据结果判断即可． 解：①，故本选项正确， ②，故本选项错误， ③，故本选项错误， ④，故本选项错误， ⑤，故本选项错误， 正确的有：①1个． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了乘方的意义，能正确进行计算是解此题的关键，注意计算时应先确定结果的符号． 【变式2】表示（  ） A．个相乘 B．个相乘的相反数 C．个相乘 D．个相乘的相反数 【答案】B 【分析】根据乘方的定义、相反数的定义进行判断即可． 解：表示个相乘，故表示个相乘的相反数 故答案为：B． 【点拨】本题考查了乘方和相反数的问题，掌握乘方的定义、相反数的定义是解题的关键． 【考点二】有理数的乘方➼➻有理数乘方运算 【例2】某数的平方是4，则这个数的立方是（    ） A．8 B．-8 C． D． 【答案】C 【分析】根据平方和立方的定义去计算． 解：∵这个数的平方是4，∴这个数可能是2或-2， 2的立方是8，-2的立方是-8． 故选：C ． 【点拨】本题考查平方和立方的定义，需要注意一个数的平方是4，这个数有两种可能，是． 【举一反三】 【变式1】计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据乘方的逆运算进行计算． 解：原式= 故选B 【点拨】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键． 【变式2】所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数乘方的逆运算将原式化为，进一步即可求出答案． 解： = = =， 故选：A． 【点拨】此题考查有理数的混合运算，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． 【考点三】有理数的乘方➼➻有理数乘方的逆运算 【例3】已知，求的值． 【答案】 【分析】根据实数的非负性计算即可． 解：∵ ，且 ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了实数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】计算： （1）与； （2）与． 【答案】（1）256；-256；（2）． 【分析】（1）直接运用乘方的运算法则计算即可； （2）直接运用乘方的运算法则计算即可． 解：（1）． （2）． 【点拨】本题主要考查了乘方的运用法则，理解乘方的运算法则成为解答本题的关键． 【变式2】比较下列各对数的大小． （1）与； （2）与； （3）与. 【答案】（1）＜  （2）＜   （3）＜ 解：（1）因为|－4＋5|=1，|－4|＋|5|=9，所以|－4＋5|＜|－4|＋|5|. （2）因为，所以. （3）因为，，所以. 【考点四】有理数的乘方➼➻乘方运算的符号问题 【例4】已知与互为相反数，求的值． 【答案】0 【分析】根据相反数的性质得到，再根据绝对值非负性得到，，代入求解即可； 解：因为与互为相反数，所以，所以，， 所以，， 因此． 【点拨】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】若，试问，当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 【答案】当时，有最大值，的最大值是12． 【分析】根据平方的非负性得到当时，有最大值，求出最大值． 解：∵恒成立， ∴当它为零的时候，才会有最大值， ∴当时，y有最大值，最大值是12． 【点拨】本题考