2.5.3 切线长定理 教案2022-2023学年 湘教版数学九年级下册

2.5.3切线长定理教案 课题 2.5.3 切线长定理 单元 二单元 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1. 理解切线长的概念； 2. 通过探究、发现和证明，掌握切线长定理； 3. 能运用切线长定理解答问题； 4. 归纳运用切线长定理的解题解题规律，提高解题能力. 重点 切线长的概念；切线长定理的内容。 难点 灵活应用切线长定理解决问题 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 师问生答，PPT展示： 1、 切线的判定定理是什么？ 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、 圆的切线有什么性质？ 圆的切线垂直于过切点的半径. 3、 解决与切线问题，常作的辅助线及解题方法有哪些？ 口诀：连半径，想垂直；做垂直，思距离. 复习切线的相关知识，思考并回答问题 思考并回答问题 通过复习，让学生回忆切线、切线的判定定理、切线的性质定理的内容，为本节课的知识做铺垫 通过具体操作，让学生知道如何做圆外一点的两条切线，为切线长的引入做准备 讲授新课 一、切线长的概念 【说一说】 如图 ， 将三角尺的一条直角边过⊙O 外一点 P 及圆上的点 A， 另一条直角边过圆心 O， 然后作直线 PA， 则 PA 是⊙O 的切线. 用同样的方法可作出切线 PB. 你能说出 PA 和 PB 是⊙O 的切线的理由吗？ 解析：根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得： OA为⊙O半径，PA ⊥ OA于A， PA 即为⊙O的切线。OB为⊙O半径，PB ⊥ OA于A， PB 即为⊙O的切线。 【切线长的概念】 切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长， 叫作这点到圆的切线长。 上图所示的哪几条线段叫做切线长呢？ 回答：线段 PA， PB 的长度是点 P 到⊙O 的切线长。 ：切线和切线长一样吗？它们有什么联系和区别？ 回答：切线：PA、PB所在的直线； 切线长：线段PA、PB的长度。 切线和切线长是两个不同的概念： 1. 切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2. 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 二、切线长定理 【探究】在透明纸上画出图 ， 设 PA， PB 是⊙O 的两条切线， A， B 是切点， 沿直线 OP将图形对折， 你发现了什么？ PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？ 回答：PA=PB PO平分∠APB，即∠APO= ∠BPO 该如何证明呢？ 证明：连接 OA， OB. ∵ PA， PB 是⊙O 的切线， ∴ ∠PAO=∠PBO=90°， 即△PAO 和△PBO 均为直角三角形. 又∵ OA=OB， OP=OP， ∴ Rt△PAO≌Rt△PBO. ∴ PA=PB， ∠APO=∠BPO. 【切线长定理】 师：我们可以的得到结论，过圆外一点所画的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。这个结论即为切线长定理。 师：几何语言该如何表达呢？ 几何语言： ∵PA、PB是⊙O的两条切线 ，∴PA=PB，∠APO= ∠BPO. 师：切线长定理为证明线段相等、角相等，弧相等，垂直关系提供了新的方法。 【切线长定理的拓展】 探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系 回答：OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 回答：∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 回答：△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 回答：△ABP △AOB 三、切线长定理的应用 师：在解决有关圆的切线长问题时，往往我们需要构建基本图形。 我们该怎样添加辅助线呢？ 回答：与圆的切线相关的添加辅助线的方法： （1）分别连接圆心和切点 （2）连接两切点 （3）连接圆心和圆外一点 【例题讲解】 如图， AD是⊙O的直径， 点C为⊙O外一点， CA和CB是⊙O 的切线， A和B是切点， 连接BD。 求证： CO∥BD。 解析：连接AB， 因为AD为直径， 那么 ∠ABD ＝90°， 即BD⊥AB. 因此要证CO∥BD， 只要证CO⊥AB即可。 证明: 连接AB. ∵ CA， CB是⊙O的切线， 点A， B为切点， ∴ CA=CB， ∠ACO=∠BCO. ∴ CO⊥AB. ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD＝90°， 即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD. 思考并回答问题 思考并回答问题 动手操作，发现问题并证明 观看课件，思考并回答问题