福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期数学暑假作业（一）--函数与导数

2022—2023学年高二数学暑假作业（一）——函数与导数 一、单选题 1．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（     ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有6个实数解 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数和函数，具有相同的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递增 10．已知，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（     ） A． B．为偶函数 C． D． 三、填空题 13．已知函数，则__________. 14．定义开区间的长度为．经过估算，函数的零点属于开区间____________（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间）． 15．已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为 16．已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________． 四、解答题： 17．已知函数． （1）求函数的极值；（2）求函数在区间，上的最大值． 18．已知函数，． (1)求函数的极值点；(2)若恒成立，求实数的取值范围． 19．已知函数． (1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； (2)若，证明：在区间内有唯一的零点． 20．设函数，. (1)若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值； (2)若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率. 2022—2023学年高二数学暑假作业——函数与导数 一、单选题 1．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型.如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意得：，即，， ， 由得：，即，解得：， 若使物体的温度为，需要冷却.故选：C. 2．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的定义域为R，又，故函数为偶函数， 又时， ，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增，所以在单调递增， 所以， 所以关于直线对称，且在单调递增． 所以， 两边平方，化简得，解得．故选：C． 3．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有6个实数解 【答案】C 【详解】由题设，则关于对称，即， ，则关于对称，即， 所以，则，故， 所以，即，故， 所以的周期为8， ，A正确； 由周期性知：，故为奇函数，B正确； 由题意，在与上单调性相同，而上递增， 关于对称知：上递增，故上递增， 所以在上是增函数，C错误； 的根等价于与交点横坐标， 根据、对数函数性质得：，， 所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确. 故选：C 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则恒成立， 所以在上单调递增，则，即，所以，则； 则，即，所以，则，即， 所以，又，所以，则；综上，.故选：C. 5．记，设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是（    ） A． B． C． D．