重难点05轴对称之“将军饮马”模型-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

重难点05轴对称之“将军饮马”模型 【知识梳理】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】 作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 类型一：两定一动 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 类型二：两定两动 在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。 考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。 类型三：一定两动 在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。 此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【考点剖析】 类型一：两定一动 例1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． 类型二：两定两动 例2.如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为　　 A．3 B．4 C． D． 【变式2】如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是　　 A． B．2 C． D．4 类型三：一定两动 例3、点P是定点，在OA、OB上分别取M、N，使得PM+MN最小。 【变式1】点P是定点，在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． 【变式2】如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______． 一．选择题 1．（2021秋•莲都区期末）如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（　　） A．1400m B．（500+300）m C．1000m D．（300+100）m 2．（2020秋•瑞安市校级月考）如图，在Rt△ADC中，AD＝3，∠ADC＝90°，∠C＝30°，AC的中垂线GH分别交AC、DC于点G、H，I为HG上一动点，则△ADI的周长的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 3．直角坐标系中，点A坐标为（0，﹣1），动点B的坐标为（m，1﹣m），AB+OB的最小值是（　　） A． B． C． D．1+ 4． P是x轴上的任意一点，则点P到点A（﹣1，1）和点B（2，3）的距离之和的最小值为（　　） A． B． C．5 D．无法确定 二．填空题 5．（2022秋•乐清市期中）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为 　 ． 6．（2021秋•诸暨市期末）如图，等腰△BAC中，∠BAC＝120°，BC＝6，P为射线BA上的动点，M为BC上一动点，则PM+CP的最小值为 　　 ． 三．解答题 7．（2021秋•诸暨市期中）如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8