专题04 反比例函数重难点题型专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题04 反比例函数重难点题型专训 【题型目录】 题型一 根据定义判断是否是反比例函数 题型二 用反比例函数描述数量关系 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 题型六 求反比例函数的解析式 题型七 判断反比例函数的图象 题型八 已知反比例函数的增减性求参数 题型九 反比例函数的k值意义 题型十 实际问题与反比例函数 题型十一 一次函数与反比例函数的图象综合判断 题型十二 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十三 一次函数与反比例函数综合 题型十四 反比例函数与几何综合 【知识梳理】 知识点一、反比例函数的概念 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式. 知识点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 知识点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 特别说明： 观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． ①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线； ②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； ③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数， 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. （2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 　 正比例函数 反比例函数 解析式 图像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位置 ，一、三象限； ，二、四象限 ，一、三象限 ，二、四象限 增减性 ，随的增大而增大 ，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而减小 ，在每个象限，随的增大而增大 （4）反比例函数y＝中的意义 ①过双曲线(≠0)上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. ②过双曲线(≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 知识点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题. 2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 【经典例题一 根据定义判断是否是反比例函数】 【例1】（2023春·北京东城·八年级景山学校校考期末）下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 【变式训练】 1．（2023·浙江·模拟预测）在真空环境中，电磁波波长λ（单位：m）、频率f（单位：Hz）满足函数关系：，下列关于电磁波的说法中，正确的是（　　） A．波长是频率的正比例函数 B．波长为m时，频率为Hz C．波长大于m时，频率大于Hz D．波长小于m时，频率大于Hz 2．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有： ． 3．（2023春·浙江·八年级专题练习）写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数． (1)火车从石家庄驶往相距约的北京，若火车的平均速度为，求火车距石家庄的距离与行驶的时间之间的函数关系式． (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数关系式． (3)一个游泳池容积为，注满游泳池所用的时间随注水速度x的变化而变化，求y与x之间的函数关系式． 【经典例题二 用反比例函数描述数量关系】 【例2】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列