1.2 直线的方程（6大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（苏教版2019选择性必修第一册）

1.2 直线的方程 一、直线的点斜式方程 1、定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2、两种特殊的直线： （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 二、直线的斜截式方程 1、定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例。 （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距， 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 三、直线的两点式方程 1、定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线。 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 四、直线的截距式方程 1、定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 2、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； （2）纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 3、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用。 五、直线的一般方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般方程。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 题型一 直线的点斜式方程 【例1】（2022·高二课时练习）直线的点斜式方程可以表示（ ）. A．任何一条直线 B．不过原点的直线 C．不与y轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线 【变式1-1】（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·高二课时练习）一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为 ． 【变式1-3】（2022·高二课时练习）直线l经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则l的点斜式方程为 ． 【变式1-3】（2023·高二课时练习）已知直线l经过点P且倾斜角为α，求直线l的点斜式方程． （1）P（2，3），； （2）P（-2，-1），； （3）P（-5，-1），． 题型二 直线的斜截式方程 【例2】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是（ ） A．，2 B．， C．， D．，2 【变式2-1】（2023秋·高二课时练习）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【变式2-2】（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知直线方程：，若不经过第二象限，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·高二校考课时练习）直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（ ） A． B． C． D．   【变式2-4】（2022秋·高二课时练习）（多选）一次函数，则下列结论正确的有（ ） A．当时，函数图像经过一、二、三象限 B．当时，函数图像经过一、三、四象限 C．时，函数图像必经过一、三象限 D．时，函数在实数上恒为增函数 题型三 直线的两点式方程 【例3】（2023秋·高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3