2022-2023学年高二物理竞赛课件：逻辑代数基础

逻辑代数基础 内容提要 本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理,然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数,为后续课程打下基础。 1 2.1 概述 在数字电路中,1位二进制数码“0”和“1”不仅可以表示数量的大小,也可以表示事物的两种不同的逻辑状态,如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系,称为二值逻辑。 当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑,并按某种因果关系进行运算时,称为逻辑运算,最基本的三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”,它与算术运算的本质区别是“0”和“1”没有数量的意义。故在逻辑运算中1+1=1(或运算) 2.1.1 二值逻辑和逻辑运算 2 数字电路是一种开关电路,输入、输出量是高、低电平,可以用二值变量(取值只能为0,l)来表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念,数字电路可以用逻辑函数的的数学工具来描述。 2.1.2 数字电路的特点及描述工具 逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用,它首先是由英国数学家乔治.布尔(George Boole)提出的,用在逻辑运算上。后来用在数字电路中,就被称为开关代数或逻辑代数,它是逻辑函数的基础。 3 注意: 1. 逻辑代数和普通数学代数的运算相似,如有交换律、结合律、分配律,而且逻辑代数中也用字母表示变量,叫逻辑变量。 2. 逻辑代数和普通数学代数有本质区别,普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数,是进行十进制(0~9)数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个:“0”和“1”。并且“0”和“1”没有数值意义,它只是表示事物的两种逻辑状态。 4 2.2 逻辑代数中的三种基本运算 在二值逻辑函数中,最基本的逻辑运算有与(AND)、或(OR)、非(NOT)三种逻辑运算。 2.2.1 与运算 与运算也叫逻辑乘或逻辑与,即当所有的条件都满足时,事件才会发生,即“缺一不可。 如图2.2.1所示电路,两个串联的开关控制一盏灯就是与逻辑事例,只有开关A、B同时闭合时灯才会亮。 5 设开关闭合用“1”表示,断开用“0”表示 ;灯亮用“1”表示,灯灭用“0”表示(逻辑赋值),则可得到表2.2.1所示的输入输出的逻辑关系,称为真值表 从表中可知,其逻辑规律服从“有0出0,全1才出1” 这种与逻辑可以写成下面的表达式: 称为与逻辑式,这种运算称为与运算 6 也可以用图2.2.2表示与逻辑,称为逻辑门或逻辑符号,实现与逻辑运算的门电路称为与门。 2.2.2 或运算 或运算也叫逻辑加或逻辑或,即当其中一个条件满足时,事件就会发生,即“有一即可 若有n个逻辑变量做与运算,其逻辑式可表示为 7 如图2.2.3所示电路,两个并联的开关控制一盏灯就是或逻辑事例,只要开关A、B有一个闭合时灯就会亮。 用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表2.2.2所示,其逻辑规律服从“有1出1,全0才出0” 其逻辑式为 上式说明:当逻辑变量A、B有一个为1时,逻辑函数输出Y就为1。只有A、B全为0,Y才为0。 其逻辑门符号如图2.2.4所示,实现或逻辑运算的门电路称为或门。 若有n个逻辑变量做或运算,其逻辑式可表示为 3. 非逻辑运算 条件具备时,事件不发生;条件不具备时,事件发生,这种因果关系叫做逻辑非,也称逻辑求反 如图2.2.5所示电路,一个开关控制一盏灯就是非逻辑事例,当开关A闭合时灯就会不亮。 非逻辑运算也叫逻辑非或非运算、反相运算,即输出变量是输入变量的相反状态。其逻辑式为 用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表2.2.3所示 注:上式也可写成 其逻辑门符号如图2.2.6所示,实现非逻辑运算的门电路称为非门 以上为最基本的三种逻辑运算,除此之外,还有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算 4. 与非(NAND)逻辑运算 与非运算是先与运算后非运算的组合。以二变量为例,布尔代数表达式为: 其真值表如表2.2.4所示 $