数列求和的方法汇总讲义-2023届高考中职数学一轮专题复习

数列求和的方法汇总 葫芦岛长江卫生中等职业技术学校 数学组 赵闯 一．倒序相加法 例1．已知函数． (1)证明函数的图像关于点对称; (2)若，求； 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设，，满足，证明即可； （2）根据（1）中的性质即可求出. 【详解】（1）证明：因为函数的定义域为， 设，是函数图像上的两点， 其中且， 则有， 因此函数图像关于点对称 ； （2）由（1）知当时，， ①，②， ①+②得，即. 例2.已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则 A. B. C. D. 解析：选B. 二．公式法求和 例4.在等比数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2)． 【分析】(1)设的公比为，根据已知条件列出关于首项和公比q的方程组，求出首项和公比，根据等比数列通项公式即可求解； (2)求出的通项公式，判断其为等差数列，根据等差数列求和公式即可求解． 【详解】（1）设的公比为，依题意得，解得， 因此． （2）∵， ∴数列是首项为0，公差为1的等差数列， 故其前项和． 例5.已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 解析：（1）设等比数列的公比为q(q>1)，则， 整理可得：，，数列的通项公式为：. （2）由于：，故： . 3． 裂项相消 1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：，则： . 2.有理化后求和：. 3.指对式裂相求和：，一般地， 指数型： 对数型： 三类应用：①裂相求和；②证明不等式；③求范围. 例6.已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，并求使得成立的最小正整数. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】试题分析： (1)由题意求得首项和公差，据此可得通项公式为； (2)裂项求和得到关于实数n的不等式，求解不等式可得使得成立的最小正整数的值为26. 试题解析： （1）是公差不为0的等差数列，设公差为， ∵，，成等比数列，∴得， 解得：或（舍去），∴. （2） ∵即化简得：，， 使不等式成立的最小正整数为. 例7设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 解析：（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （2）（i）由（I），有， 故. （ii）因为， 所以. 四：错位相减法 型如的数列求和，其基本解题步骤如下： 基本规律 错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解． 思维结构结构图示如下 例8.数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用数列通项与前n项和的关系求解； （2）利用错位相减法求解. 【详解】（1）解：当时，， 当时，，又， 两式相减得，， 又，且， 所以是等比数列，首项为，公比为3， 所以. （2）由（1）知：，则， ， ，. 五. 并项求和 例11．已知等比数列的前项和为为常数）. (1)求的值，并写出数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由已知求、，由为等比数列求出，写出通项公式； （2）由（1）写出通项公式，由奇偶项和为定值，用并项求和法求. 【详解】（1）由，当时， . 当时， . 因为数列为等比数列， 所以适合， 所以， （2）由，则 所以 例12．已知数列满足：，，（）． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式． 解析：（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列． （2）由（1）知，， 当时， ，当n=1时，满足上式． 例13．已知数列的前项和为，，，，则（  ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，又， 所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，则数列也是等比数列，公比为，首项为3．所以．故选：A． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $