4.5.1函数的零点与方程的解 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 1 定义：对于一般函数y=f(x)，我们把使 f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点 函数的零点 零点 不是点 零点是数 探究点一 求函数的零点 【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=1+log3x; (3)f(x)=4x-16. (3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2. 方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 方程的根 函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 函数的零点 函数图象 函数的图象与x轴交点 x1=x2=1 无实数根 (-1,0),(3,0) (1,0) 无交点 x y 0 －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . . . . . . . x y 0 －1 3 2 1 1 2 5 4 3 . . . . . y x 0 －1 2 1 1 2 x1=-1,x2=3 -1, 3 1 无零点 二、抽象概念 内涵辨析 数 形 一是代数法 令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点; 二是几何法 画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴公共点的横坐标即为函数的零点. 注：求函数零点时要注意零点是否在函数定义域内. 所以求函数的零点通常有两种方法: 当相应方程无法判断是否有解，或者函数图象无法作出，该如何判断函数是否存在零点？如 问题 ？ 解： 求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数 求方程lnx＋2x－6=0的解的个数， 画图可知这两个函数图象只有1个交点. ∴函数f(x)＝lnx＋2x－6零点只有一个. 即求y=lnx和y=－2x＋6=0图象交点个数. 11 观察二次函数y=x2-2x-3的图象 在零点附近，函数图象是连续不断的， 并且“穿过”x轴. 在x=2和x=4的取值异号，即 f(2) f(4)<0，函数在区间(2,4)内有零点x=3 在x=-2和x=0的取值异号，即 f(-2) f(0)<0，函数在区间(-2,0)内有零点x=1， 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一个零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解。 函数零点存在定理 新知探究 捷克数学家伯纳德·波尔查诺于1817年证明了这个定理，同时证明了这个定理的一般情况（即介值定理） a b 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？ 思考1 ？ 不能 a b 在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？ 思考2 ？ 多个零点 a b a b 唯一零点 f(x)在(a，b)内为单调函数 函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0？ 思考3 ？ a b 不一定 定理不可逆 若f(a)·f(b)>0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定没有零点吗？ 思考4 ？ a b 不一定 练 习 1.函数的零点所在区间是( ) A. (3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) B 练 习 2.函数f(x)=x3+x-1的零点所在区间是( ) A. (-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) C 练 习 3.设m为实数，若二次函数y=x2-2x+m在区间[1,+∞)上有且仅有一个零点，则m的取值范围是( ) A. (1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.R C 解(1)令-8x2+7x+1=0,解得x=-或x=1.所以函数的零点为-,1. (2)令1+log3x=0,即log3x=-1,解得x=.所以函数的零点为. 例2．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为 (　　) A．0　 　B．1 C．2 D．3 解析：由题意可知f(x)的定义域为 (0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象如图所示． 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. 判断函数零点个数的常用方法 (1)直接法：解方程f (x)＝0，方程f (x)＝0解的个数就是函数f (x)零点的个数． (2)图象法：直接作出函数f (x)的图