28.2过三点的圆（教学设计）-2023-2024学年冀教版九年级上学期数学

28.2 过三点的圆 【教材分析】本节课是冀教版九年级上册第28章第二节的内容，主要是过三点的圆，是在学习了圆的有关概念后，学习如何通过定点和定长画圆的过程，并引入了外接圆和外心的相关概念，为以后圆与三角形相结合打下基础. 【学情分析】本节课是学生在前阶段学完了圆的概念及性质的基础上进行的，教学不仅要传授知识，更要注重学生在探索学习中所表现出来的情感态度，帮助学生养成几何的直观感受与逻辑推理相结合的思维能力. 【教学目标】1.经历探究过两点和过不在同一直线上的作圆的过程； 2. 会过不共线的三点作圆和作三角形的外接圆，知道三角形的外接圆和外心. 3.体会数学的思维之美，发展学生空间想象能力 【教学重难点】重点：探究过两点和过不在同一直线上的作圆的过程. 难点：过不在同一直线上的三个点作圆和作三角形的外接圆. 【教 具】多媒体、课件、思维导图 【教学过程】 一、情境导入 问题1：平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆心在哪里？ 圆心和半径不确定，能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A之间的距离. 二、探究新知 （一）过不在同一直线上三点作圆 问题2：作圆，使它经过已知点A，B，你是如何做的？ 先由学生自己动手尝试画图，教师巡视发现学生出现的问题. 生：作线段AB的垂直平分线，垂直平分线上任意一点到A，B两点的距离都相等，所以垂直平分线上的点都可以作为圆心. 师：你能作几个这样的圆？ 生：因为线段AB的垂直平分线上有无数个点，所以可以作无数个圆. 教师利用多媒体动画演示画圆. 学生小结：经过已知两点的圆也有无数个. 问题3：作圆，使它经过已知点A，B，C（A，B，C三点不在同一条直线上）.你是如何做的？你能作出几个这样的圆？ 师生共同分析：要作一个圆经过A，B，C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等.因为到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心. 分析完之后，让学生小组讨论、动手尝试画图. 教师让学生说出自己利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法和步骤，教师同时利用多媒体展示作法，让没完成的同学跟着完成. 作法 图示 （1）连接AB，BC （2）分别作AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O （3）以O为圆心，OA为半径作圆，则☉O就是所要求作的圆 （2） 三角形的外接圆和外心 1.试着做做：三角形的三个顶点可以确定一个圆吗？ 学生分析：因为三角形的三个顶点不在同一直线上，所以经过三角形的三个顶点能作一个圆. 教师点评：这个三角形和圆之间有着特殊关系. 试一试：用尺规作过三角形三个顶点的圆. 已知:如图1所示,△ABC. 求作:☉O,使它过三点A,B,C. ( 图1 )作法:如图1所示. （1）分别作线段AB和BC的垂直平分线l1和l2.设l1与l2相交于点O. （2）以点O为圆心,OA为半径画圆. ☉O即为所求. 总结：三角形外接圆和外心的概念： 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心，是三角形三边垂直平分线的交点. 思考： 1.三角形的外心到三角形各顶点距离有何关系？ 2.如何画三角形的外接圆？ 学生小组讨论、交流，然后小组代表发表小组内观点. 生1：根据三角形外接圆的定义可以得到三角形外心到三个顶点的距离相等. 生2：通过画三角形两边的垂直平分线，得到的交点即为圆心，进而确定半径画出外接圆. 试一试：画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆并交流它们外心的位置. 学生动手画三类三角形的外接圆，并小组讨论交流外心的位置. 师生总结：锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外. 教师用多媒体展示三类三角形外心的位置. 设计意图：通过此问题,让学生体会数学在生活中的应用,用数学知识可以解决一些实际问题,培养学生“用数学”的意识. 三、运用新知 1.下列说法是否正确？ (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) 四、拓展提高 已知：如图，∠APB和点Q,过点P,Q且圆心在∠APB的边上的圆有几个？请将它们画出来 解：如图 做出线段PQ的中垂线，交∠APB的边于点E,F 分别以E,F为圆心，E