1.2 直线的方程（八大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

1.2 直线的方程 课程标准 学习目标 1、能说出平面直角坐标系中确定直线的几何要素，能结合直线的点斜式方程求解过程，说明“直线的方程”和“方程的直线”之间的关系． 2、能根据确定直线的几何要素（一点和方向）建立点斜式方程，能通过点的特殊化得出斜截式方程． 3、能利用点斜式推出两点式，能通过特殊化得出截距式． 4、能通过归纳点斜式、斜截式、两点式、截距式的共性，概括出直线的一般式方程；能用自己的语言解释直线与二元一次方程的关系． 5、能用直线的方程解决简单的问题． 1、了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程． 2、掌握直线的点斜式方程与斜截式方程 3、根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程 4、掌握直线的一般式方程 5、会进行直线方程的五种形式之间的转化． 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 【即学即练1】一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为______． 【答案】 【解析】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为，斜率为， 所以所求直线的点斜式方程为 故答案为：. 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 【即学即练2】倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为__________． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：. 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 【即学即练3】已知，，则直线的两点式方程为__． 【答案】 【解析】当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为， 故答案为：. 知识点四：直线的截距式方程 若直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．叫做直线在x轴上的截距，叫做直线在轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令得直线在轴上的截距；令得直线在轴上的截距． 【即学即练4】过两点，的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于直线过，两点， 所以直线在x轴，y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为． 故选：D 知识点五：直线方程的一般式 关于和的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 【即学即练5】若，且，则经过的直线的一般方程为_________ 【答案】 【解析】若, 则点在直线上, 点在直线上 即、都在同一直线上 因为两点确定一条直线,所以由、确定的直线即为 故答案为: 题型一：求直线的点斜