第11讲 直角三角形全等的判定“斜边、直角边”（5种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第11讲 直角三角形全等的判定“斜边、直角边”（5种题型） 【知识梳理】 一．直角三角形全等的判定——“HL” 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 二、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中， 可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【考点剖析】 题型一．用“HL”直接证明直角三角形全等 例1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（　　） A．HL B．ASA C．SAS D．SSS 【变式1】．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件 　　 ，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF． 【变式2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．    (1)求证：； (2)求证：． 题型二．用“HL”间接证明直角三角形全等 例2．（2022秋•大丰区校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF． 【变式1】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、、且．求证：．    【变式2】根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN． 证明：连接DB，DC ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN ∴DM＝①　 　（②　 　） ∵DE是BC的垂直平分线 ∴DB＝③　 　（④　 　） 在⑤　 　和⑥　 　中 ∴⑦　 　≌⑧　 　（⑨　 　） ∴BM＝CN（⑩　 　） 题型三.灵活选用方法证明全等 例3．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．    (1)你添加的条件是______（填序号）； (2)添加了条件后，请证明． 【变式1】（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等． 【变式2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 题型四．全等三角形综合应用 例4.如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结， （1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？ （2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？ 【变式】在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC． （1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证： （2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程． （3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型五：尺规作图—作直角三角形 例5.尺规作图题 已知：如图，线段，，直角． 求作：，使，，． （注：不写作法，保留作图痕迹）    【变式】作图题 （1）如图，已知线段m，n．求作△ABC，请在右面的空白处作△ABC，作∠ACB=90°，AC=m，AB=n（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）婷婷将（1）中自己画的△ABC剪下来，放在同桌悦悦所画的△ABC上，发现两三角形完全重合，这一过程验证了三角形