预习课12 抛物线（讲+练）-【暑假教程】2023年高一升高二数学暑假复习+预习（人教A版2019选择性必修第一册）

预习课12 抛物线 1 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 如图在抛物线上. 2 抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点 准线方程 解释 (1) 求解焦点在轴正半轴上的抛物线方程 取经过点且垂直于直线的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系， 设，那么焦点的坐标为，准线的方程为， 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为，由抛物线的定义， 因为，所以， 化简得. (2) 涉及抛物线，先看一次项的取值范围确定开口方向，比如中一次项则该抛物线开口向左；再确定值、焦点和准线位置. 可想象下抛物线是鱼缸里的一条鱼，焦点是它眼睛，准线是鱼缸玻璃壁. 【例】 画出以下抛物线的图象，写出相应的焦点坐标和准线方程. (1) ；(2) ；(3) ；(4) ； 【题型一】 抛物线的定义 【典题1】 到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是(　　) A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 变式练习 1.动点到点的距离比它到直线的距离大，则动点的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 【题型二】 求抛物线的标准方程 【典题1】 与圆外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是　　． 变式练习 1.已知定点和直线，则到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹为( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 2.点与点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程是　　． 【题型三】 抛物线的简单性质 【典题1】 若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为( ) A． B． C． D． 【典题2】如图过抛物线的焦点的直线依次交拋物线及准线于点若且则(　　) A． B． C． D． 变式练习 1.已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为( ) A． B． C． D． 2.抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则 ( )　 A． B． C． D． 3.设抛物线：的焦点为是上的一点且在第一象限，以为圆心，以为半径的圆交的准线于两点，且三点共线，则点的横坐标为(　　) A． B． C． D． 4.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，在准线上的射影为，，则等于 ． 5.焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上，在中， ，则的值是 . 【A组---基础题】 1.已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为( ) A． B． C． D． 2.抛物线的焦点到其准线的距离是( ) A． B． C． D． 3.抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线焦点的距离为( ) A． B． C． D． 4.(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是(　　) A． B． C． D．与之间的距离为4 5.已知圆与抛物线的准线相切，则__________． 6.若抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则　 　． 7.若点到点的距离比它到直线的距离少则动点的轨迹方程是　 ． 8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若那么　 　． 9.已知抛物线上一点到焦点的距离倾斜角为的直线经过焦点且与抛物线交于两点． (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)若为锐角，作线段的中垂线交轴于点．证明：. 【B组---提高题】 1.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，其准线为过的直线交抛物线于两点，作垂足分别为．若且的面积为则抛物线的方程为(　　) A． B． C． D． 2.已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点，则的最小值是( ) A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $ 预习课12 抛物线 1 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 如图在抛物线上. 2 抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点 准线方程 解释 (1) 求解焦点在轴正半轴上的抛物线方程 取经过点且垂直于直线的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系， 设，那么焦点的坐标为，准线的方程为， 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为，由抛物线的定义， 因为，所以， 化简得. (2)