第2讲 直线方程-《知识提炼 能力训练》2023年新高二数学暑假衔接作业课程

第 2讲 直线方程 一．知识点梳理 1.直线的点斜式方程 名称 已知条件 示 意 图 方程 使用范围 点斜式 点 P(x0,y0) 和斜率 k y-y0=k(x-x0) 斜率存在的直线 （1）点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式. （2）点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. （3）当直线与 x轴平行或重合时,方程可简写为 y=y 0 .特别地,x轴的方程是 y=0; 当直线与 y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成 x=x 0 .特别地,y轴的方程 是 x=0. 2.直线的斜截式方程 名称 已知条件 示 意 图 方程 使用范围 斜截式 斜率 k和在 y轴上 的截距 b y=kx+b 斜率存在的直线 （1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. （2）截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和 0.当直 线过原点时,它的横截距和纵截距都为 0. （3）由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线 y=2x-1的斜率 k=2,纵截 距为-1. 3.直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义 y－y1 y2－y1 ＝ x－x1 x2－x1 就是经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1≠x2， y1≠y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． （1）当两点(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 )的直线斜率不存在(x 1 =x 2 )或斜率为 0(y 1 =y 2 )时,不能用两点式方程表 示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线. （2）对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺 序无关,如直线过点 P 1 (1,1),P 2 (2,3),由两点式可得 y-1 3-1 = x-1 2-1 ,也可以写成y-3 1-3 = x-2 1-2 . 4.直线的截距式方程 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线 在 x轴和 y轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时 非常方便. 5.直线的一般式方程 (1)．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于 x，y的二元 一次方程; ；任何关于 x，y的二元一次方程都表示一条直线; 方程 Ax＋By＋C＝0(其中 A、B 不同时为 0)叫做直线方程的一般式． (2)．直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于 x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． 6 直线的一般式方程与其他形式的互化 二．典型例题 例 1.（1）过点 ( 3,5) 且倾斜角为150的直线 l的方程为 ( ) A． 3 2y x   B． 3 4 3 y x   C． 3 8y x  D． 3 6 3 y x  （2）已知直线 l过点 (1,1)，且倾斜角为 90，则直线 l的方程为 ( ) A． 1x y  B． 1x y  C． 1y  D． 1x  （3）经过点 (0,3)且倾斜角为 0的直线方程为 ( ) A． 3x  B． 3y  C． 3y x  D． 2 3y x  例 2.（1）过两点 (0,3)， (2,1)的直线方程为 ( ) A． 3 0x y   B． 3 0x y   C． 3 0x y   D． 3 0x y   （2）已知点 (3,2)A ， ( 1,4)B  ，则经过点 (2,5)C 且经过线段 AB的中点的直线方程为 ( ) A． 2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C． 2 1 0x y   D． 2 1 0x y   （3）经过两点 1(x ， 1)y ， 2(x ， 2 )y 的直线方程都可以表示为 ( ) A． 1 1 2 1 2 1 x x y y x x y y      B． 2 2 1 2 1 2 x x y y x x y y      C． 1 2 1 1 2 1( )( ) ( )( )y y x x x x y y     D． 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x      例 3.（1）（多选）下列说法错误的是 ( ) A．过定点 0 0(P x ， 0 )y 的直线都可用方程 0 0( )y y k x x   表示 B．过定点 (0, )A b 的直线都可用方程 y