第10讲 三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第10讲 三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型） 【知识梳理】 一、全等三角形判定——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【考点剖析】 题型一：用“角边角”直接证明三角形全等 例1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O． 求证：△AEC≌△BED； 【变式1】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE． 【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（　　） A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边 【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF． 题型二：用“角边角”间接证明三角形全等 例2.如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE． 【变式1】已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF． 【变式2】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE. 【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD） （1）线段　 　的长度就是A、B两点间的距离 （2）请说明（1）成立的理由． 【变式4】如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF. 【变式5】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM. 【变式6】如图，已知，平分，且于点D，则________． 【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长． 题型三：用“角角边”直接证明三角形全等 例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB． 【变式】（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）求两堵木墙之间的距离． 题型四：用“角角边”间接证明三角形全等 例4、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC． 【变式】已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、B 分别作、 ，垂足为E、F，求证：. 题型五：“边角边”与“角角边”综合应用 例5．如图，，、分别平分、，与交于点O． （1）求的度数； （2）说明的理由． 【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE． （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明． 题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形 例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形 已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示． 图4－4－21 求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c. 例7.已知：角α，β和线段a，如图4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a. 图4－4－29 【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图 已知：，和线段a，求作，使，，． 要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母． 【过关检测】 一、单