第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第三章《一元函数的导数及其应用》 第01讲　导数的概念及其意义、导数的运算 1．导数的概念 (1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导， 并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或， 即f′(x0)＝＝. (2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数 (简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率， 相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1． 导数的运算 命题点1 导数的运算法则 例1．（1）下列求导运算中正确的个数是（    ） ①；            ② ③；         ④. A．0 B．1 C．2 D．3 （2）已知函数，则（    ） A．－1 B．0 C．－8 D．1 （3）若，则等于（    ） A． B． C． D． （4）已知函数，则_____________． 【复习指导】：(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 命题点2 简单复合函数的导数 例2．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)； (8)； (9)． (10)； (11)； (12)； (13)． 【复习指导】：(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 命题点3 求某点处的导数值 例3．（1）已知函数​，则​（    ） A．​ B．1 C．​ D．5 （2）若函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． （3）若函数，满足，且，则（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 （4）已知函数，则__________. （5）若函数满足，则_____________ 二．导数的几何意义 命题点1　导数与函数图象 例4．（1）已知函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（    ） A． B． C． D． （3）函数 的导函数的图象如图所示，给出下列命题： ①是函数的极值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上单调递增； ④在处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ （4）函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． （5）已知函数（是函数的导函数）的图象如图所示，则的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． （6）已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （7）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A．