第03讲 导数与函数的极值、最值（题型归纳+解题技巧）-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第03讲　导数与函数的极值、最值 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 一．利用导数求函数的极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 例1．（1）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上，是增函数 B．当时，取到极小值 C．在区间上，是减函数 D．在区间上，是增函数 （2）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 （3）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数 C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点 （4）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．为函数的零点 B．函数在上单调递减 C．为函数的极大值点 D．是函数的最小值 （5）（多选）观察图象，下列结论错误的有（    ）． A．若图中为图象，则在处取极小值 B．若图中为图象，则有两个极值点 C．若图中为图象，则在上单调递增 D．若图中为图象，则的解集为 【复习指导】：(1)导函数的图像看正负性，原函数的图像看单调性； (2)导函数的图像中，极值点的两侧正负性不同，先正后负为极大值（点），先负后正为极小值（点）； 原函数的图像中，极值点的两侧单调性不同，先增后减为极大值（点），先减后增为极小值（点）. 命题点2　求已知函数的极值 例2．（1）已知函数在处取得极值，则函数的极小值为（    ） A． B． C． D． （2）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（     ） A．1 B． C． D．－1 （3）若是函数的一个极值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． （4）函数在区间（0，e）上的极小值为（    ） A．－e B．1－e C．－1 D．1 （5）已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值． 【复习指导】：函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 命题点3　已知极值(点)求参数 例3．（1）已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 （2）已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 （3）当时，函数取得极小值4，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 （4）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____． （5）若函数在处取得极大值10，则的值为___________. （6）设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是_____． （7）函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______. 【复习指导】：已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的