1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第一章

1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示 盛 琪 第一章 空间向量与立体几何 2023/7/12 1.4 空间向量的应用 1 引 入 平面向量 空间向量 代数运算 推广 建系 问题1 空间向量解决了哪些几何问题？ 距离问题 夹角问题 平行、垂直问题 利用空间向量解决立体几何问题关键是建立空间向量与几何要素的对应关系. 本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题. LOGO 2 探究新知 问题2 如何用向量表示一个点？ 1. 空间中点、直线和平面的向量表示 • O P • 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量. 定原点（参照物） 点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面. LOGO 3 探究新知 问题3 我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l. 如何用向量表示直线l ? 直线的方向向量： 换句话说，直线上的非零向量叫做直线的方向向量. 如图，l为经过已知点A且平行于非零向量 的直线，那么非零向量 叫做直线l的方向向量. l A P 直线l的向量式方程: 用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点. LOGO 4 探究新知 • A P • l B 如图， 是直线l的方向向量，在直线l上取 设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得 进一步地，如图示，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 O 将 带入①式，得 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. LOGO 5 例题讲解 例1 已知空间两点A（1，-2，3），B（2，1，-3），求直线AB与Oyz平面的交点. LOGO 6 探究新知 问题4 一个定点和两个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面? （1）不共线的三点确定一个平面. （2）直线和直线外一点确定一个平面. （3）两条相交直线确定一个平面. （4）两条平行直线确定一个平面. 立体几何 如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一 的有序实数对(x, y)，使得 α • O • P 这样，点O与向量 不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点. 这种表示在解决几何问题时有重要作用. ⟹ 推论 平面α可以由α内两条相交直线确定. （5）一个定点和两个定方向确定一个平面. LOGO 7 问题5 给定空间一点A和一条直线l，能否确定过点A且垂直于直线l的平面是唯一的? 探究新知 进一步地, 如右图示, 取定空间任意一点O, 可以得到, 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x, y, 使 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. α P C O A B α A • 由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面. 量表示这个平面？ 一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向 l LOGO 8 探究新知 如图，直线l⊥α. 取直线l的方向向量 , 我们称向量 为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量 , 那么过点A, 且以向量 为法向量的平面完全确定, 可以表示为集合 α A l • 问题5 如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量 ， 与 有什么关系? m 一个平面的法向量不唯一，与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. P • 平面α的向量式方程： 2. 平面的法向量 注意：①法向量一定是非0向量; ②一个平面的所有法向量都互相平行; ③向量n是平面的法向量,向量m是与平面平行或在平面内，则有 LOGO 9 探究新知 空间向量表示形式 点 直线 平面 1.点+两个不共线向量 2.点+平面法向量 = 为方向向量 OP=xa+yb {P|α=0} LOGO 10 例题讲解 例2 如图示，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系