8.1.2 样本相关系数-【数学一起课件】高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

授课人：XXX 第八章 成对数据的统计分析 样 本 相 关 系 数 Image by <a href="https://www.freepik.com/free-vector/isometric-data-visualization-concept-background_4274183.htm#page=4&query=data&position=37&from_view=search&track=sph">Freepik</a> 学习目标 结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与“标准化”处理后的成对数据两分量向量夹角的关系. 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 核心素养 数学抽象 相关系数的统计含义. 逻辑推理 相关系数公式推导. 数学运算 求相关系数. 知识回顾 相关关系 散点图 正相关 负相关 线性相关 非线性相关 函数关系 辨析 课程导入 问题1 通过上节课的学习，请总结一下散点图有什么优缺点？ 优点 缺点 直观、简明； 形象地体现了成对数据的分布规律； 可大致判断两个变量间的相关性. 只能粗略判断两个变量间的相关性； 无法确切反映两个变量间相关程度的大小，即相关性的强弱. 课程导入 问题2 能否像引入均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？ 01 样本相关系数 问题探究 对于变量和变量， 设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，， 其中和的均值分别为和. 为了刻画每个变量的观测数据相对其均值的增减情况，将数据以为零点进行平移，得到平移后的成对数据为 ，，…， 并绘制散点图. 问题探究 问题3 利用上述方法处理上节课年龄和脂肪含量的数据，观察所得到的散点图有何规律？ 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量 /% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量 /% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 问题探究 问题3 观察散点图发现，这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号. 显然，这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的. 问题探究 问题4 由此我们可以得到什么一般性结论呢？ 一般地，如果变量和正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如图（1）所示； 如果变量和负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多，如图（2）所示. 问题探究 问题5 根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？ 从上述讨论得到启发，利用散点的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量 一般情形下，表明成对样本数据正相关； 表明成对样本数据负相关. 问题探究 问题6 你认为的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？ 因为的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小. 例如，在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高的单位由米改为厘米，则相应的将变为原来的100倍，但单位的改变并不会导致体重与身高之间相关程度的改变. 问题探究 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理. 我们用 分别除 和 得 问题探究 为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为 仿照 的构造，可以得到 问题探究 我们称为变量和变量的样本相关系数. 样本相关系数 变量 和变量 的样本相关系数 的变形形式 样本相关系数 样本相关系数与正、负相关的关系 当时，称成对样本数据正相关. 这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大. 当时，称成对样本数据负相关. 这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小. 这样，我们利用成对样本数据构造了样本相关系数. 样本相关系数是一个描述成对样本数据的数字特征， 它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征： 问题探究 问题7 样本相关系数的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系？ 我们先考察一下的取值范围. 观察的结构，联想到二维（平面）向量、三维（空间）向量数量积的坐标表示，我们将向量的维数推广到维，维向量的数量积仍然定义为 其中为向量的夹角. 问题探究 类似于平面或空间向