预习课11 双曲线（讲+练）-【暑假教程】2023年高一升高二数学暑假复习+预习（人教A版2019选择性必修第一册）

预习课11 双曲线 1 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数(小于的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 如图，是双曲线上一点，. 解释 当时，轨迹仅表示双曲线的右支； 当时，轨迹仅表示双曲线的左支； 当|时，轨迹是一直线上以，为端点向外的两条射线； 当|时，轨迹不存在. 【例】点到两定点，的距离之差为，则动点的轨迹是什么？ 2 双曲线的标准方程 焦点在轴上的双曲线方程为； 焦点在轴上的双曲线方程为. 解释 (1) 双曲线标准方程的证明 双曲线具有对称性，以经过双曲线两焦点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么焦点，，根据双曲线定义可得，则， 化简得， 两边同除以得， 即动点的轨迹双曲线对应的方程是. 由双曲线定义可知，即，所以. 令，则我们称为双曲线的标准方程. (焦点在轴上的双曲线类似证明) 【例】点到两定点，的距离之差为，求动点轨迹方程. (2) 对于方程， 当时，方程表示的轨迹为双曲线； 当时，方程表示的轨迹为焦点在轴的双曲线； 当时，方程表示的轨迹为焦点在轴的双曲线； (由双曲线方程判断焦点的位置与的值，我们看分母的正负) 【例】双曲线方程，其焦点在轴还是轴，，，的值又是多少呢？ 3 焦点三角形 ，是双曲线的焦点，点在双曲线上，且与、不共线，则三角形叫做焦点三角形. 在题目出现焦点三角形，可想到双曲线定义和解三角形的相关知识. 4 几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图象 标准方程 范围 或 或 顶点 轴长 虚轴长，实轴长 焦点 焦距 的关系 离心率 渐近线 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 【例】求双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点坐标、渐近线和顶点坐标． 【题型一】 双曲线的定义 【典题1】 已知两定点，动点满足，则当和时，点的轨迹分别是(　　)． A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 变式练习 1.已知定点在满足下列条件的平面内，动点的轨迹为双曲线的是(　　)． A． B． C． D． 2.平面内到两定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹(　　) A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 【题型二】 双曲线的标准方程 【典题1】 已知方程表示双曲线，则的取值范围是(　　)． A． B． C． D．或 【典题2】双曲线过点(4，)、(3，)，则双曲线的标准方程为　　． 变式练习 1.若，则是方程表示双曲线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.过点且的双曲线的标准方程是 ． 【题型三】双曲线的简单几何性质 【典题1】 已知双曲线的方程为，则下列说法错误的是(　　) A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的渐近线方程为 C．离心率为 D．双曲线上的点到焦点距离的最小值为 【典题2】已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为(　　) A． B． C． D． 变式练习 1.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为(　　) A． B． C． D． 2.已知双曲线的方程为1，则下列关于双曲线说法正确的是(　　) A．虚轴长为 B．焦距为 C．离心率为 D．渐近线方程为 3.已知双曲线的实轴长为，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为(　　) A． B． C．4或 D．8或 4.设双曲线：，的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且，若的面积为，则(　　) A． B． C． D． 5.已知、是双曲线的左、右焦点，是其左顶点．若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为 　 　． 6.双曲线：的左、右焦点分别为，过其中一个焦点作轴的垂线，与交于，两点，若，则双曲线的离心率为　 　． 【A组---基础题】 1.已知两定点，，曲线上的点到，的距离之差的绝对值是，则曲线的方程为(　　) A． B． C． D． 2.已知方程表示双曲线，则的取值范围是(　　) A． B． C．或 D． 3.双曲线上的点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为(　　)Z+X+X+K] A．或 B． C． D． 4.已知双曲线的一个焦点为，则其渐近线方程为(　　) A． B．