1.2.2 空间中的平面与空间向量（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.2 空间中的平面与空间向量 目录 学习任务 思维导图 复习引入 主体学习 课堂小结 学习任务 PART ONE 1.理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量. 2.会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系. 3.理解并会用三垂线定理及其逆定理. 思维导图 PART TWO 6 复习引入 PART THREE 我们已经知道空间中的直线，根据它的方向向量和一个点可以描述这条直线的位置，那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？ 8 主体学习 PART FOUR 一、平面的法向量 如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直,则称n为平面α的一个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α. 如图所示的长方体中，是平面的一个法向量. 根据定义可知，平面的法向量有如下性质： （1）如果直线垂直平面，则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量； （2）如果是平面的一个法向量，则对任意的实数，空间向量也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量平行； （3）如果为平面的一个法向量，为平面上一个已知的点，则对于平面上任意一点，向量一定与向量垂直，即，从而可知平面的位置可由和唯一确定. （1）如果 是直线的一个方向向量， 是平面的一个法向量,分别探讨与与平面的关系； （2）如果是平面的一个法向量， 是平面的一个法向量，分别探讨论与时，平面与平面的关系。 12 (1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则n∥v⇔l⊥α; n⊥v⇔l∥α,或l⊂α. (2)如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,则 n1⊥n2⇔α1⊥α2; n1∥n2⇔α1∥α2,或α1与α2重合. 13 例1 已知正方体中，分别是与的中点.求证：面. 证明：以为原点，的正方向分别为轴、轴、轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.则 又因为是的中点，所以的坐标为 ， 即.类似地，可得. 因此. 又因为⊥面，所以是平面的一个法向量，而且，因此 , 即，由图可知不在平面内， 因此面 14 例2 如图,已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中， ，求平面ABC的一个法向量. 解：由已知可得 =- = =- = 设平面ABC的一个法向量为,则 将看成常数，可解得 , , 令则因此为平面ABC的一个法向量. 二、三垂线定理及其逆定理 空间中，图形F上所有点在平面内的射影所组成的集合F',称为图形F在平面内的射影.如图所示，如果△ABC的顶点A在平面内，B与C都在平面外，则分别过B与C作的垂线，设交点分别为B',C',则△AB'C'就是△ABC在平面内的射影.而且，此时BB'与CC'都是平面的一个法向量. 16 已知AB是平面的一条斜线且B为斜足（即 AB不垂直于且），设其中是A在平面内的射影，而是平面内的一条直线，如图所示，判断下列命题是否成立，并用空间向量证明： （1）当时, ; （2）当时, . 证明：设，则由 ，且，可知 ，即 如果则 , =0，又因为 =+ + ， 所以 =(+ ) = + =0 因此 . 如果,则 , =0,又因为 =+ , 所以 = (+ ) + =0 因此. 17 三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 18 例3 如图所示，已知是一个正方体，求证：. 证明：因为是正方体， 所以⊥面，因此在平面内的射影为. 又因为是正方形，所以，因此根据三垂线定理可知. 19 例4 如图所示的三棱锥中，，且为的边上的高，求证：. 证明：因为，， 所以面. 因此在平面内的射影为， 又因为⊥，所以根据三垂线定理的逆定理， 可知. 20 课堂小结 PART FIVE 22 谢谢观看 $