第二部分 专题复习(二)四边形的有关计算与证明-【暑假总复习】2023年八年级数学暑假衔接期末复习（湘教版）

## ! 专题复习!二" ! 四边形的有关计算与证明 四边形与三角形有着紧密的联系#研究四边形 的性质常常借助三角形的有关知识#理解平行四边 形&矩形&菱形&正方形的概念#以及它们之间的关系 是特殊与一般的关系#理解这种关系对于研究它们 的性质和判定有着重要的作用 ! 近年来特殊四边形 的知识内容备受命题者的青睐#题型设计多样化#出 现了较多开放探索型问题#与图形变换&函数等知识 融为一体#形成压轴题 ! 考点 ! ! 四边形中有关量的计算 !例 ! " ! 如 图!过 ( "#$& 的对角线 #& 上 一点 6 分别作平行于四边 形两边的平行线 '( 与 42 !那么图中的 ( "'64 的面积 1 1 与 ( 2$(6 的面积 1 + 的大小关系是 " !! # &'1 1 ) 1 + ('1 1 + 1 + )'1 1 "1 + *'+1 1 "1 + !解析" ! F 四边形 "#$& 是平行四边形# G"# "$& # "& "$#! 又 F#& "&# # G " "#& $ " $&#!G1 " "#& "1 " $&# ! 又 F'( & 42 分别平行于 两边# G 易得四边形 '#26 & 46(& 均为平行四边 形# G1 " '#6 "1 " #26 # 1 " 46& "1 " 6(& !G1 " "#& < 1 " #'6 <1 " 46& "1 " $&# <1 " #26 <1 " &6( #即 1 1 "1 + ! 故选 )' !方法规律总结" ! 本题考查了平行四边形性质 的简单应用#以及全等三角形的性质#能正确分解图 形是解题的关键 ! 把无法直接求的结论转化为熟悉 的图形是数学中常用的一种方法#另外在本题中#要 熟悉平行四边形的对角线把平行四边形分成的两个 三角形的面积相等 ! !例 " " ! 如图!在 ( "#$& 中! # ""2$% !将 ( "#$& 折叠!使点 & ' $ 分别落在点 ( ' ' 处"点 ( ' ' 都在 "# 所在的直线上#!折痕为 69 !则 # "6( 等于 ! !解析" ! 根据题意知道四边形 6('9 与四边 形 6&$9 关于折痕 69 成轴对称#则 # 6('" # &! 又因为 # "! # &"15$% # # 6("! # 6('" 15$% #所 以 # 6(" " # " "2$%! 因 为 # "6(! # 6("! # ""15$% #所以 # "6("/$%! !方法规律总结" ! 本题考查了平行四边形性质 和轴对称图形的性质#解题的关键是灵活应用平行 四边形性质和轴对称图形的性质将问题进行转化 ! 解答这类问题时#往往需要灵活应用轴对称图形隐 含的边$角之间的相等关系解决问题 ! 考点 " ! 四边形中的条件开放性探究题 !例 # " ! 如图!在 ( "#$& 中! ' 为 "& 的中点! $' 的延长线交 #" 的 延长线于点 (! " 1 #求证$ &"(" % " + #若使 # #($" # #$( ! ( "#$& 的边长之间 还需再添加一个什么条件( 请补上这个条件!并进 行证明"不再增添辅助线# ! !解析" ! ! 1 "证明$ F 四边形 "#$& 是平行四 边形# G$& & #(! G # #($" # &$' # # ("'" # $&'! F'&"'" # G " &$' $" "('!G$&"("! ! + "在 ( "#$& 中#只要 #$"+"# #就能使 # #($" # #$(! 证明$ F"#"$&"(" # $"+"# # G#$""#!"("#(! G # #($" # #$(! !方法规律总结" ! 对于条件开放性试题#可以 把结论当条件逆推得出符合要求的条件#同时注意 一般有多种情况存在#只写一种即可 ! 本题型有时列 出几个条件供你选择#选择时可以逐一试证 ! #$ ! 考点 # ! 四边形中的结论探究题 !例 $ " ! 如图!在正方形 "#$& 中! 4 是 #$ 上的任意一点" 4 与 # ' $ 两点不重合#! ' ' ( 是 "4 上的两点 " ' ' ( 与 " ' 4 两点不重合#!若 "(" #(!'( ! # 1" # + !请判断线段 &' 与 #( 有怎样 的位置关系!并证明你的结论 ! !解析" ! 根据题目条件可判断 &' & #(! 证明$ F 四边形 "#$& 是正方形# G"#""&! F"(""'!'( #又 F"("#(!'( # G"'"#(!F # 1" # + # G " "#( $" &"' ! 3&3 " ! G # "(#" # &'" # # #"(" # "&'! G # "&'! # +"#$%! G # "'&" # #(