第03讲 3.2.1单调性与最大（小）值（知识清单+12类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第03讲 3.2.1单调性与最大（小）值 课程标准 学习目标 ①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． ②掌握定义法证明函数单调性的步骤． ③掌握函数单调区间的写法. ④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. ⑤.会借助单调性求最值. ⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值． 通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值. 知识点01：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点02：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【即学即练1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并证明； 【答案】(1)函数在上单调递减，理由见详解 【详解】（1）函数在上单调递减； 理由如下： 取，规定； 则 因为， 所以 所以 所以函数在上单调递减 知识点03：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点四：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为，所以， 当时，函数单调递减，故， 当时，即，所以， 所以函数的值域为：. 故选：C． 题型01 定义法判断或证明函数单调性 【典例1】（2023·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 【典例2】（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数，且，． (1)求函数的解析式； (2)根据定义证明函数在上单调递增． 【变式1】（2023秋·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数. 【变式2】（2023春·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）设函数． （1）用定义证明函数在区间上是单调减函数； 【变式3】（2023·全国·高一专题练习）求证：函数在区间上是减函数． 题型02求函数单调区间 【典例1】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）函数的减区间是（