(练习)4 核心素养提升(一)三角形内角与外角的应用-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

核心素养提升(一) (三角形内角与外角的应用) 小强是个聪明的孩子，一天他把一副直角三角尺按如图的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，他用量角器度量∠1＋∠2的度数，发现∠1＋∠2与∠D的度数存在某种关系．同样聪明的你能算出∠1＋∠2的度数吗？ 解：如图， ∵∠1＝∠D＋∠DOA，∠2＝∠E＋∠EPB， 又∵∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO， ∴∠1＋∠2＝∠D＋∠E＋∠COP＋∠CPO＝∠D＋∠E＋180°－∠C＝30°＋90°＋180°－90°＝210°. 　利用“整体思想”求角度 1．(1)如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.若∠A＝80°，则∠BEC＝ 130° ；若∠A＝n°，则∠BEC＝　90°＋n°　. 图1 (2)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB.若∠A＝n°，则∠BEC＝　60°＋n°　. 图2 (3)如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM.若∠A＝n°，则∠BEC＝　n°　. 图3 【探究思路】　解答本题时，如果只考虑每个角是多少度，那么问题无法求解；若从全局考虑，突破常规，利用“整体思想”，则往往会取得意想不到的效果． 【自主解答】解：(1)如题图1，∵BE，CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB. ∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB) ＝180°－(∠ABC＋∠ACB) ＝180°－(180°－∠A) ＝90°＋∠A， 若∠A＝80°，则∠BEC＝130°； 若∠A＝n°，则∠BEC＝90°＋n°. 故答案为130°；90°＋n°. (2)如题图2，∵线段BD，BE把∠ABC三等分， ∴∠EBC＝∠ABC. 又∵线段CD，CE把∠ACB三等分， ∴∠ECB＝∠ACB. ∴∠EBC＋∠ECB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠A)． ∴∠BEC＝180°－(180°－∠A)＝60°＋∠A. 若∠A＝n°，则∠BEC＝60°＋n°. 故答案为60°＋n°. (3)如题图3，∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACM的平分线， ∴∠EBC＝∠ABC，∠ACE＝∠ACM. 又∵∠ACM是△ABC的外角， ∴∠ACM＝∠A＋∠ABC. ∴∠ACE＝(∠A＋∠ABC)＝∠A＋∠EBC. ∵∠ECM是△BEC的外角， ∴∠ECM＝∠ACE＝∠EBC＋∠BEC. ∴∠BEC＝∠ACE－∠EBC ＝∠A＋∠EBC－∠EBC ＝∠A. 若∠A＝n°，则∠BEC＝n°. 故答案为n°. 　利用“方程思想”求角度 【角度1】　通过三角形内角和列出方程求角的度数 2．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠DAC，∠C＝2∠B，求∠ADB的度数． 【探究思路】　利用三角形内角和定理，找到数量关系设未知数列方程求解即可． 【自主解答】 解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAC. ∵∠B＝∠DAC，∠C＝2∠B. ∴∠BAD＝∠B. 设∠DAC＝x，则∠BAD＝∠B＝x，∠C＝2x， ∴x＋x＋x＋2x＝180°， 解得x＝36°， ∴∠DAC＝∠BAD＝∠B＝36°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝108°. 【角度2】　利用方程求外角的度数 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，点D，E分别在边AC，AB上，且∠BDC＝∠C，∠A＝∠AED，∠ABD＝∠BDE，求∠A的度数． 【探究思路】　设∠ABD＝x，结合三角形外角的性质，则可用含x的式子表示∠A，∠ABC，∠C.再运用在△ABC中，内角和为180°，求∠A的度数． 【自主解答】解：设∠ABD＝∠BDE＝x， 则∠AED＝∠A＝∠BDE＋∠ABD＝2x. ∴∠BDC＝∠C＝∠ABC＝∠A＋∠ABD＝3x. 在△ABC中，3x＋3x＋2x＝180°， 解得x＝22.5°， ∴∠A＝2x＝2×22.5°＝45°. 　利用“转化思想”求角度 4．如图，五角星的五个内角之和∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ 180° . 【探究思路】　在求解多个角的和时，若角的度数不易求解，则可以根据三角形外角的性质，将其转化为易于求解的角或将多个角转化为一个角进行求解． 【自主解答】解析：如图， ∵∠1＝∠A＋∠C，∠2＝∠B＋∠D， ∴∠1＋∠2＝∠A＋∠C＋∠B＋∠D. ∵∠1＋∠2＋∠E＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 一、选择题 1．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是(　D　) A．∠2＜∠5 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4＋∠5 D．∠1＝∠2 解析：∵∠2是△OBC的外角， ∴∠2＞∠5，故选项A不符合题意； ∵∠2是△AOD的外角，∴