(教参)第14章 14.2 课时2-3 完全平方公式-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(人教版)

课时2　完全平方公式 学习目标 1．能推导完全平方公式，了解公式的几何意义. 2．能灵活运用完全平方公式进行简便运算. 素养目标 经历探索完全平方公式的过程，体会数形结合的思想，进一步发展学生的符号感、抽象概括及推理的能力. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的　平方和　，加上(或减去)它们的　积的2倍　.用字母表示为(a＋b)2＝　a2＋2ab＋b2　，(a－b)2＝　a2－2ab＋b2　. 1．计算(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，则“□”中的数为(　D　) A．－2　B．2　C．－4　D．4 解析：由(x＋2)2＝x2＋4x＋4可得，“□”中的数为4. 2．计算：(a－1)2＝　a2－2a＋1　. 解析：直接利用完全平方公式计算即可解答. 　完全平方公式的变形应用 已知x＝a－2 015，y＝2 021－a，xy＝5. 探究1: 求x2＋y2的值； 解：∵x＝a－2 015，y＝2 021－a， ∴x＋y＝a－2 015＋2 021－a＝6. 又∵xy＝5， ∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝62－2×5＝36－10＝26. 探究2: 求(x－y)2的值； 解：由探究1知，x2＋y2＝26. ∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝26－2×5＝16. 探究3: 求a的值． 解：由探究2知，(x－y)2＝16. ∴x－y＝4或x－y＝－4. 当x－y＝4时，由x＋y＝6，解得x＝5，y＝1， 此时a＝x＋2 015＝2 020. 当x－y＝－4时，由x＋y＝6， 解得x＝1，y＝5， 此时a＝x＋2 015＝2 016. 综上所述，a＝2 020或a＝2 016. 1．(1)已知(a＋b)2＝6，(a－b)2＝2，求a2＋b2与ab的值； (2)已知a＋b＝8，a2b2＝9，求a2＋b2的值． 解：(1)∵(a＋b)2＝6，(a－b)2＝2， ∴a2＋2ab＋b2＝6，①a2－2ab＋b2＝2，② ①＋②，得a2＋2ab＋b2＋a2－2ab＋b2＝8， ∴a2＋b2＝4. ①－②，得4ab＝4， ∴ab＝1. (2)∵a＋b＝8，a2b2＝9， ∴(a＋b)2＝64，ab＝±3， ∴a2＋2ab＋b2＝64， ∴a2＋b2＝64－2ab＝64－2×3＝58或a2＋b2＝64－2ab＝64－2×(－3)＝70. 综上所述，a2＋b2的值为58或70. 2．已知(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9.求a2－6ab＋b2的值． 解：因为(a＋b)2＝25，(a－b)2＝9， 所以(a＋b)2－(a－b)2＝4ab＝16， 所以a2－6ab＋b2＝(a－b)2－4ab＝9－16＝－7. 　完全平方公式的整体应用 阅读下面的解题过程，回答问题： 若x满足(30－x)(x－10)＝160，求(30－x)2＋(x－10)2的值． 解：设30－x＝a，x－10＝b，则(30－x)(x－10)＝ab＝160， a＋b＝(30－x)＋(x－10)＝20， (30－x)2＋(x－10)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝202－2×160＝80. 探究1: 若x满足(50－x)(x－40)＝2.求(50－x)2＋(x－40)2的值； 解：设50－x＝a，x－40＝b，则(50－x)(x－40)＝ab＝2，(50－x)2＋(x－40)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝[(50－x)＋(x－40)]2－2×2 ＝102－4 ＝100－4 ＝96. 探究2: 若x满足(x－2 021)2＋(x－2 018)2＝2 000，求(x－2 021)(x－2 018)的值； 解：设x－2 021＝a，x－2 018＝b，由完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，得 ab＝， ∴(x－2 021)(x－2 018) ＝ ＝ ＝ ＝. 探究3: 如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为80，求图中阴影部分的面积． 解：由题意，得CE＝6－x，CF＝10－x. 又∵(6－x)(10－x)＝80， 则由完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，得 a2＋b2＝(a－b)2＋2ab， ∴图中阴影部分的面积和为(6－x)2＋(10－x)2＝[(6－x)－(10－x)]2＋2×80 ＝(－4)2＋160 ＝16＋160 ＝176. 1．若x满足(30＋x)(20＋x)＝10，求(30＋x)2＋(20＋x)2的值． 解：设30＋x＝a,20＋x＝b， 则 (30＋x)(20＋x)＝ab＝10. ∵a－b＝(30＋x)－(20＋x)＝10， ∴(30＋x)2＋(20＋x)2 ＝a2＋b